Podstawy fizyki z elementami biofizyki mat 02d

Pobierz cały dokument
Podstawy fizyki z elementami biofizyki mat 02d.pdf
Rozmiar 764,7 KB
background image

33

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Elementy termodynamiki i fizyki cz

Čsteczkowej

1. Komentarz ogólny: fizyka cz

Čsteczkowa jest zwiČzana z fizykČ budowy materii. Ciaųa skųadajČ

si

ħ z atomów i czČsteczek znajdujČcych siħ w bezųadnym ruchu cieplnym (

teoria

cz

Čsteczkowo-kinetyczna

). Liczne potwierdzenia np.: zjawiska dyfuzji czy ruchy Browna.

2. Komentarz 1: Oddzia

ųywania w gazach, cieczach i ciaųach staųych.

3. Komentarz 2: Ruch cz

Čstek moǏna badađ metodami statystycznymi lub termodynamicznymi.

Termodynamika

zajmuje si

ħ warunkami przemiany róǏnych rodzajów energii i opisuje te

przemiany ilo

Ƒciowo. Trzy zasady termodynamiki tworzČ zespóų praw umoǏliwiajČcych opis

w

ųasnoƑci ciaų makroskopowych w róǏnych warunkach.

Zespó

ų rozpatrywanych ciaų wymieniajČcych energiħ nazywa siħ ukųadem termodynamicznym.

Stan uk

ųadu termodynamicznego okreƑla siħ przez podanie wszystkich wielkoƑci (parametrów

termodynamicznych) charakteryzuj

Čcych fizyczne wųasnoƑci ukųadu. SČ to np.

temperatura

,

pojemno

Ƒđ cieplna

,

g

ħstoƑđ

.

Stany dwóch uk

ųadów róǏniČ siħ, jeƑli nawet jeden z parametrów termodynamicznych je

charakteryzuj

Čcych jest inny.

Stan uk

ųadu jest stacjonarny jeƑli wartoƑci parametrów termodynamicznych nie zmieniajČ siħ

w czasie.

Stan stacjonarny jest zrównowa

Ǐony, jeƑli jego niezmiennoƑđ w czasie nie jest uwarunkowana

zachodzeniem procesów termodynamicznych z udzia

ųem ciaų zewnħtrznych wobec danego

uk

ųadu. Stan zrównowaǏony ukųadu jest jednoznacznie zdefiniowany przez skoŷczonČ liczbħ

parametrów termodynamicznych zwanych parametrami stanu.

Najwa

Ǐniejsze parametry stanu:

g

ħstoƑđ

(lub obj

ħtoƑđ jednostki masy danej substancji),

ci

Ƒnienie

i

temperatura

.

Zwi

Čzek miħdzy tymi trzema parametrami nazywa siħ

równaniem stanu

:

݂ ݌ǡ ݒǡ ܶ ൌ Ͳ

Gaz dokona

ųy

Jest to taki gaz, w którym oddzia

ųywania miħdzyczČsteczkowe sČ do zaniedbania (nie wystħpujČ).

Zderzenia cz

Čsteczek gazu doskonaųego majČ charakter doskonale sprħǏysty, a rozmiary czČste-

czek s

Č bardzo maųe.

Gazy rzeczywiste przy niewielkich ci

Ƒnieniach i niezbyt niskich temperaturach zachowujČ siħ w

sposób zbli

Ǐony do gazów doskonaųych (np. hel przy ciƑnieniu atmosferycznym w ܶ = 293 K).

Ci

Ƒnienie – wielkoƑđ liczbowo równa sile dziaųajČcej na jednostkħ powierzchni prostopadle do tej

powierzchni:

݌ ൌ 

݀ܨ

݀ܵ

Je

Ƒli p = const na caųej powierzchni S, to:

݌ ൌ 

ܨ

ܵ

(1.01)

(1.03)

(1.02)

background image

34

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

…A Skala Fahrenheita
T

F

=32+9/5 T

C

ܶ ൌ ʹ͹͵ǡͳͷ

ι

൅ ݐ

Boyle i Mariotte ustalili w wyniku serii do

Ƒwiadczeŷ nastħpujČce prawo dotyczČce gazów

doskona

ųych:

݌ܸ ൌ …‘•–

Gazy rzeczywiste o niewielkiej g

ħstoƑci takǏe speųniajČ dobrze to prawo.

Rysunek poni

Ǐej przedstawia zachowanie wybranych gazów (wodoru i tlenu) w zwiČzku z tym

prawem i odst

ħpstwa od niego w zakresie wysokich ciƑnieŷ:

(1.04)

background image

35

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Z kolei Gay-Lussac uogólni

ų swoje obserwacje dotyczČce zwiČzku ciƑnienia i temperatury na

nast

ħpujČce prawo:

݌ ൌ ݌

ͳ ൅ ߙ

ݐ

gdzie

݌

oznacza ci

Ƒnienie gazu w temperaturze ݐ = 0°C.

Podobny zwi

Čzek zaproponowano dla objħtoƑci i temperatury:

ܸ ൌ ܸ

ͳ ൅ ߙ

ݐ

ܸ

obj

ħtoƑđ gazu w temperaturze t = 0°C

Ostatnie 2 wzory dla danej masy gazu doskona

ųego moǏna takǏe zapisađ z wykorzystaniem

skali Kelvina:

݌ ൌ ߙ݌

ͳ

ߙ

൅ ݐ ൌ ߙ݌

ܶ

ܸ ൌ ߙܸ

ͳ

ߙ

൅ ݐ ൌ ߙܸ

ܶ

ߙ ൌ ͳ ʹ͹͵ǡͳͷ

Τ

†‡‰

ିଵ

Bazuj

Čc na prawach Boyle’a-Mariotte’a i Gay-Lussaca otrzymađ moǏna równanie Clapeyrona:

݌ܸ

ܶ

ൌ …‘•–

albo

݌ܸ ൌ ܥܶ

ܥ – staųa gazowa zaleǏna m.in. od masy i skųadu chemicznego gazu.

(1.05)

(1.07)

(1.08)

(1.06)

(1.11)

(1.09)

(1.10)

Obj

ħtoƑđ masy ܯ gazu moǏna wyraziđ jako:

ܸ ൌ ܯݒ

ݒ – objħtoƑđ wųaƑciwa gazu. StČd

݌ܯݒ ൌ ܥܶ

lub

݌ݒ ൌ

ܥ

ܯ

ܶ ൌ ܤܶ

gdzie

ܤ ൌ ܥ ܯ

Τ

Sta

ųa gazowa na jednostkħ masy (staųa gazowa wųaƑciwa).

Kilogramocz

Čsteczka (kilomol, kmol) to taka iloƑđ substancji, której masa wyraǏona w

kilogramach odpowiada liczbowo jej ci

ħǏarowi czČsteczkowemu ߤ ܯ ൌ ߤ .

Analogicznie definiuje si

ħ gramoczČsteczkħ lub mol. Jest to iloƑđ substancji, której masa w

gramach jest równa masie cz

Čsteczkowej. Liczba czČsteczek w 1 kmolu:

ܰ

ߤ

݉

Dla dwóch ró

Ǐnych substancji zachodzi wiħc:

݉

݉

ߤ

ߤ

݋ݎܽݖ

ܰ

ߤ

݉

ൌ …‘•–

ܰ

ൌ ͸ǡͲʹ͵ ή ͳͲ

ଶ଺

ͳ ‘Ž

Τ

െ ݈݅ܿݖܾܽ ܣݒ݋݃ܽ݀ݎ݋

(1.12)

(1.14)

(1.15)

(1.13)

(1.18)

(1.16)

(1.17)

background image

36

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Poniewa

Ǐ ݒ ൌ ܸ

ߤ

Τ , to:

݌ܸ

ܶ

ൌ ߤܤ ൌ ܴ

Albo te

Ǐ

݌ܸ

ൌ ܴܶ

ܴ oznacza staųČ gazowČ na kmol gazu. Staųa ta jest jednakowa dla wszystkich gazów i nazywa siħ
ja te

Ǐ uniwersalnČ staųČ gazowČ. W róǏnych ukųadach jednostek wynosi ona:

ܴ ൌ

ʹʹǡͶͳͷ ή ͳǡͲͳ͵ʹ ή ͳͲ

ʹ͹͵ǡͳͷ

 ή 

‘Ž ή †‡‰

ൌ ͺǡ͵ͳ ή ͳͲ

ܬ

‘Ž ή †‡‰

ൌ ͺͶͺ

 ή 

‘Ž ή †‡‰

ൌ ͳǡͻͻ

…ƒŽ

‘Ž ή †‡‰

ൌ ͲǡͲͺʹͳ

݉

ή ƒ–

‘Ž ή †‡‰

ܴ ൌ ͺǡ͵ͳ ή ͳͲ

‡”‰

‘Ž ή †‡‰

ܴ ൌ ͲǡͲͺʹͳ

ͳƒ–

‘Ž ή †‡‰

Dla

ܯ kilogramów gazu (

kilomoli) caųkowita objħtoƑđ gazu wynosi: ܸ ൌ ܯ ߤ

Τ ܸ

i mamy:

݌ܸ

ܯ

ߤ

ܯ

ߤ

ܴܶ

lub

݌ܸ ൌ

ܯ

ߤ

ܴܶ

Jest to najbardziej ogólna posta

đ równania stanu gazu doskonaųego. MoǏna stČd wyznaczyđ

g

ħstoƑđ gazu:

(1.19)

(1.21)

(1.22)

(1.20)

(1.25)

(1.23)

(1.24)

ߩ ൌ

ܯ

ܸ

݌ߤ

ܴܶ

݌

ܤܶ

Wprowad

Ǎmy jeszcze (waǏnČ) staųČ Boltzmanna ݇:

݇ ൌ

ܴ

ܰ

ͺǡ͵ͳ ή ͳͲ



ܬ

‘Ž ή †‡‰

͸ǡͲʹ ή ͳͲ

ଶ଺

ͳ

‘Ž

ൌ ͳǡ͵ͺ ή ͳͲ

ିଶଷ

ܬ

†‡‰

Wtedy:

݌ ൌ

݇ܰ

ܸ

ܶ ൌ ݇݊

ܶ

przy czym

݊

ൌ ܰ

ܸ

Τ

jest liczb

Č czČsteczek w jednostce objħtoƑci gazu.

(1.27)

(1.28)

(1.26)

(1.29)

background image

37

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Energia wewn

ħtrzna

Ca

ųkowita energia ukųadu:

ܧ ൌ ܧ

൅ ܧ

൅ ܷ

Na energi

ħ wewnħtrznČ skųada siħ:

1) Energia kinetyczna ruchu post

ħpowego i obrotowego czČsteczek

2) Energia potencjalna zwi

Čzana z oddziaųywaniem miħdzyczČsteczkowym

3) Energia kinetyczna i potencjalna ruchów oscylacyjnych (drgaj

Čcych) atomów w czČsteczce

wokó

ų poųoǏeŷ równowagi

4) Energia pow

ųok elektronowych w atomach i jonach

5) Energia wewn

ČtrzjČdrowa.

Okre

Ƒlony stan ukųadu oznacza znajomoƑđ energii wewnħtrznej ukųadu i jej czħƑci skųadowych.

Dwa stany uk

ųadu sČ identyczne, jeƑli ich energia wewnħtrzna ܷ jest jednakowa.

Istotne jednak w termodynamice s

Č zmiany energii wewnħtrznej przy przejƑciu ukųadu od

jednego do drugiego stanu.
Wygodnie jest przyj

Čđ, Ǐe energia wewnħtrzna ukųadu ܷ ൌ Ͳ przy ܶ ൌ Ͳ K.

W dalszym ci

Čgu tego wykųadu mówiČc o energii wewnħtrznej ukųadu bħdziemy rozwaǏađ tylko

energi

ħ ruchu cieplnego czČsteczek i ich wzajemnČ energiħ potencjalnČ. W przypadku gazów

doskona

ųych z definicji pomijađ bħdziemy takǏe i tČ ostatniČ skųadowČ energii potencjalnej.

B

ħdziemy rozwaǏađ takie zjawiska przy których energiČ wewnČtrzjČdrowa czy powųok

elektronowych nie zmienia si

ħ.

(1.30)

Praca i ciep

ųo

Praca zwi

Čzana jest z procesem przekazywania ruchu – mówimy o niej, gdy zachodzi zmiana

stanu uk

ųadu.

Praca wykonana przez uk

ųad w jakimƑ procesie jest miarČ zmiany jego energii w tym

procesie. Wykonanie pracy jest wi

ħc formČ przekazywania energii.

Energia mo

Ǐe byđ przekazywana miħdzy ciaųami w postaci pracy (energia uporzČdkowanego

ruchu jednego z cia

ų przechodzi w energie uporzČdkowanego ruchu drugiego z ciaų lub jego

cz

ħƑci). MoǏe byđ teǏ przekazana podczas wymiany energii pomiħdzy chaotycznie poruszajČcymi

si

ħ czČsteczkami ciaų, przy czym kosztem przekazanej tak ciaųu energii towarzyszy zwiħkszenie

energii wewn

ħtrznej ciaųa. Tħ formħ przekazywania energii w termodynamice nazywa siħ

ciep

ųem.

Np. przy kontakcie cia

ųa cieplejszego i chųodniejszego szybciej poruszajČce siħ czČsteczki

cia

ųa cieplejszego przekazujČ czħƑđ swojej energii kinetycznej w zderzeniach czČsteczkom ciaųa

ch

ųodniejszego. Prowadzi to do zwiħkszenia energii wewnħtrznej ciaųa chųodniejszego oraz

zmniejszenia energii wewn

ħtrznej ciaųa cieplejszego. Proces trwa aǏ do wyrównania temperatur

obu cia

ų.

background image

38

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

W praktyce poj

ħcia „pracy” i „ciepųa” moǏna rozumieđ dwojako: albo jako formy przekazywania

energii albo te

Ǐ jako iloƑci przekazanej energii.

Ciep

ųo jest formČ przekazywania energii, nie moǏna jednak mówiđ, Ǐe jest postaciČ energii.

Okazuje si

ħ, Ǐe jeƑli zmieniamy stan 1 ukųadu na stan 2 poprzez dostarczanie ciepųa to naleǏy

dostarczy

đ róǏnych iloƑci ciepųa by osiČgnČđ stan 2 jeƑli bħdziemy przechodziđ od stanu 1 do 2

przez inne stany po

Ƒrednie. Zatem ciepųo nie jest funkcjČ stanu.

Ciep

ųo i praca nie sČ równowaǏnymi formami przekazywania energii.

Wykonanie pracy nad uk

ųadem prowadziđ moǏe do zwiħkszenia dowolnego rodzaju jego energii

(wewn

ħtrznej, potencjalnej, kinetycznej) natomiast dostarczenie ciepųa do ukųadu daje

zwi

ħkszenie tylko jego energii wewnħtrznej.

Cz

ħsto w praktyce przy doprowadzaniu ciepųa do ukųadu przeksztaųcamy dodatkowo w czħƑci

ruch chaotyczny cz

Čsteczek na ruch uporzČdkowany (np. maszyny cieplne).

Inny przyk

ųad: ogrzewanie prħta metalowego: zwiħkszeniu energii wewnħtrznej prħta towarzyszy

jego wyd

ųuǏenie (zostaje wykonana praca).

Okazuje si

ħ, Ǐe ciepųo zamienia siħ w pracħ lub praca w ciepųo zawsze w dokųadnie odpowiednich

ilo

Ƒciach, niezaleǏnie od rodzaju przemiany. Jedna kaloria jest równowaǏna 4.18 J pracy

(mechaniczny równowa

Ǐnik ciepųa).

ܬ ൌ Ͷǡͳͺ

ܬ

…ƒŽ

ൌ Ͷǡͳͺ ή ͳͲ

‡”‰

…ƒŽ

ൌ ͲǡͶʹ͹

 ή 

…ƒŽ

Odwrotno

Ƒđ – Cieplny równowaǏnik pracy:

ͳ ܬ ൌ Ͳǡʹ͵ͻ …ƒŽ ܬ

Τ

Τ

Uwaga na jednostki!

(1.32)

(1.31)

Pierwsza zasada termodynamiki
Zmiana

ȴE caųkowitej energii ukųadu przy jego przejƑciu z jednego stanu do drugiego równa jest

sumie pracy wykonanej nad uk

ųadem (straconej) i dostarczonego ukųadowi ciepųa:

οܧ ൌ ܮ

൅ ܳ

W dalszym ci

Čgu zajmiemy siħ tylko takimi ukųadami dla których caųkowita energia mechaniczna

(potencjalna plus kinetyczna) jest sta

ųa, czyli οܧ ൌ οܷ.

Je

Ƒli z kolei praca jest wykonywana przez ukųad nad ciaųami zewnħtrznymi, to zamiast (1.33)

mamy:

ܳ ൌ οܷ െ ܮԢ lub ܳ ൌ οܷ ൅ ܮ, gdzie L=-L’

Pierwsza zasada termodynamiki mo

Ǐe byđ wiħc wyraǏona teǏ w formie:

Ciep

ųo doprowadzone do ukųadu jest wykorzystane na zwiħkszenie energii wewnħtrznej ukųadu i

na wykonanie przez uk

ųad pracy przeciwko siųom zewnħtrznym.

Szczególnie wa

Ǐna jest sytuacja, gdy ukųad dziaųa okresowo (np. silnik) i ciaųo robocze (np. gaz) w

wyniku zaj

Ƒcia pewnego procesu powraca do stanu wyjƑciowego. W tym przypadku

οܧ =0 i οܷ =0

Zatem:

ܮ ൌ ܳ.

Praca wykonana w jednym cyklu równa jest wi

ħc doprowadzonemu do niej ciepųu. Prowadzi to

do kolejnego sformu

ųowania I zasady termodynamiki:

Nie mo

Ǐna zbudowađ silnika dziaųajČcego periodycznie wykonujČcego pracħ bez doprowadzenia

do niego energii lub wykonuj

Čcego pracħ wiħkszČ niǏ wynikaųoby to z iloƑci doprowadzonej do

niego energii. Nie mo

Ǐna wiħc zbudowađ

perpetuum mobile

pierwszego rodzaju.

(1.33)

(1.34)

(1.36)

(1.35)

background image

39

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Ciep

ųo wųaƑciwe

Ciep

ųo wųaƑciwe c substancji to iloƑđ ciepųa potrzebna do ogrzania masy jednostkowej tej

substancji o 1K:

ܿ ൌ

ߜܳ
݀ܶ

lub

ߜܳ ൌ ܿ݀ܶ

Molowe ciep

ųo wųaƑciwe C substancji to iloƑđ ciepųa potrzebna do ogrzania 1 kilomola tej

substancji o 1K, zatem:

ܥ ൌ ߤܿ

ߤ – masa czČsteczkowa substancji

I zasad

ħ termodynamiki moǏna wiħc zapisađ w postaci:

ܥ݀ܶ ൌ ܷ݀ ൅ ߤ݌݀ݒ (dla kilomola)

ܿ݀ܶ ൌ ݀ݑ ൅ ݌݀ݒ(dla jednostki masy)

Tzw. „pojemno

Ƒđ cieplna” zaleǏy od rodzaju procesu termodynamicznego, nie jest wiħc ona

charakterystyk

Č wyųČcznie samej substancji.

(1.43)

(1.45)

(1.44)

(1.47)

(1.46)

Przemiany gazu – izoprocesy

Izoprocesy to przemiany (najcz

ħƑciej w gazach), w których jeden z trzech parametrów: p, v lub T

jest sta

ųy podczas tego procesu.

Proces izochoryczny

– przebiega bez zmiany obj

ħtoƑci (wųaƑciwej). W tym przypadku ݀ݒ ൌ Ͳ i gaz

nie wykonuje pracy nad cia

ųami zewnħtrznymi:

ߜܮ ൌ ݌݀ݒ ൌ Ͳ

Rysunek poni

Ǐej przedstawia proces izochorycznego ogrzewania i oziħbiania.

Z I zasady termodynamiki wynika,

Ǐe ciepųo

dostarczone do gazu izochorycznie idzie w ca

ųoƑci

na zwi

ħkszenie energii wewnħtrznej gazu: ߜܳ ൌ ݀ݑǤ

Zatem

݀ݑ ൌ ܿ

݀ܶ,

ܿ

– ciep

ųo wųaƑciwe przy staųej objħtoƑci.

Je

Ƒli przyjČđ, Ǐe ܿ

nie zale

Ǐy od temperatury to:

οݑ ൌ ݑ

െ ݑ

ൌ න ܿ

݀ܶ ൌ ܿ

ܶ

െ ܶ

ൌ ܿ

οܶ

Dla dowolnej masy gazu M z (1.49) mamy:

ܷ݀ ൌ

ܥ

݀ܶ,

W przypadku gazu doskona

ųego (1.51) obowiČzuje

dla dowolnego procesu, st

Čd energia wewnħtrzna

jednostki masy gazu doskona

ųego zaleǏy tylko od ܥ

i T.

(1.49)

(1.48)

(1.50)

(1.51)

background image

40

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Twierdzenie to potwierdzi

ųy liczne doƑwiadczenia, których ideħ ilustruje rysunek:

Pocz

Čtkowo tylko w zbiorniku A znajduje siħ rozrzedzony gaz o temperaturze T

1

zbli

Ǐony

w

ųasnoƑciami do gazu doskonaųego. W zbiorniku B jest próǏnia. Zbiorniki A i B oraz rurka ųČczČca

nie wymieniaj

Č ciepųa z otoczeniem (ߜܳ ൌ Ͳሻ. Po otwarciu kranu C gaz rozprħǏa siħ do caųej

obj

ħtoƑci (A + B). Okazaųo siħ, Ǐe T

1

nie zmienia si

ħ oraz U = const. Istotnie, gaz nie wykonaų

pracy przeciw si

ųom zewnħtrznym : ߜܮ ൌ Ͳ , a poniewaǏ takǏe ߜܳ ൌ Ͳ to dU = 0 i U = const.

Zatem energia wewn

ħtrzna gazu doskonaųego nie zaleǏy od jego objħtoƑci wųaƑciwej.

Ilo

Ƒđ ciepųa konieczna do ogrzania pewnej masy M gazu (o dT):

ߜܳ ൌ

ܯ

ߤ

ܥ

݀ܶ

Praca wykonana przez jednostk

ħ masy gazu przy rozszerzaniu izobarycznym od stanu 1 do 2:

ܮ ൌ න ݌݀ݒ ൌ ݌ ݒ

െ ݒ

(por. pole zakreskowane na rys.)

Proces izobaryczny

Jest to proces zachodz

Čcy przy staųym ciƑnieniu. Ilustracjħ tego procesu (rozszerzanie i

zg

ħszczanie izobaryczne) przedstawia rysunek poniǏej:

(1.53)

(1.52)

background image

41

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Z I zasady termodynamiki mamy dla procesu izobarycznego (dla masy jednostkowej gazu
doskona

ųego):

ܿ

݀ܶ ൌ ݀ݑ ൅ ݌݀ݒ

Poniewa

Ǐ dla gazu doskonaųego ݀ݑ ൌ ܿ

݀ܶto:

ܿ

݀ܶ ൌ ܿ

݀ܶ ൅ ݌݀ݒ

Wiemy,

Ǐe dla masy jednostkowej gazu:

݌ݒ ൌ

ܴ

ߤ

ܶ

Dla

݌ ൌ …‘•– zróǏniczkowanie obustronne daje:

݌݀ݒ ൌ

ܴ

ߤ

݀ܶ

St

Čd (1.55) moǏna zapisađ w postaci:

ܿ

െ ܿ

݀ܶ ൌ

ܴ

ߤ

݀ܶ

lub

ܴ ൌ ߤ ܿ

െ ܿ

ൌ ܥ

െ ܥ

Uniwersalna sta

ųa gazowa R jest wiħc róǏnicČ molowego ciepųa wųaƑciwego przy staųym ciƑnieniu

i obj

ħtoƑci (dla gazu doskonaųego).

Wykorzystanie równania stanu gazu i ostatniego wzoru na prac

ħ ųatwo daje:

ܮ ൌ

ܴ

ߤ

ܶ

െ ܶ

czyli

ܴ ൌ

ߤܮ

ܶ

െ ܶ

(1.54)

(1.56)

(1.57)

(1.55)

(1.60)

(1.58)

(1.59)

(1.61)

ܴ jest wiħc równa pracy izobarycznego rozszerzania 1 kmola gazu doskonaųego przy ogrzaniu go
o 1 stopie

ŷ.

Wida

đ, Ǐe w procesie izobarycznym ciepųo wųaƑciwe jest wiħksze niǏ w izochorycznym. Jest tak

dlatego,

Ǐe w procesie izochorycznym ciepųo dostarczone do gazu zwiħksza jego energiħ

wewn

ħtrznČ, a w procesie izobarycznym zarówno zwiħksza energiħ wewnħtrznČ jak i jest

u

Ǐytkowane na wykonanie pracy rozszerzania siħ gazu.

Proces izotermiczny

To proces zachodz

Čcy w staųej T. Wówczas pV = const.

Rysunek poni

Ǐej przedstawia ideowo proces izotermiczny.

Ciep

ųo doprowadzone do gazu doskonaųego w

procesie izotermicznym jest zu

Ǐywane na

wykonanie pracy przy sta

ųej energii wewnħtrznej

(dla 1kmola):

ߤܳ ൌ ߤܮ ൌ ߤ න ݌݀ݒ

lub:

ߤܳ ൌ ߤܮ ൌ න ܴܶ

݀ݒ

ݒ

ൌ ܴܶ Ž

ݒ

ݒ

ൌ ܴܶ Ž

݌

݌

Dodatnia praca rozszerzania si

ħ gazu zaznaczona

jest na rys. jako zakreskowane pole.

(1.62)

background image

42

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Proces adiabatyczny

Jest to proces bez wymiany ciep

ųa miħdzy ukųadem a otoczeniem (ߜܳ ൌ Ͳ).

Nie nale

Ǐy pisađ



= 0 ! (to oznacza

ųoby tylko, Ǐe suma doprowadzonego i oddanego ciepųa z

uk

ųadu jest 0!).

Proces ten realizuje si

ħ przy szybkim sprħǏaniu lub rozprħǏaniu gazu, tak by nie zdČǏyųa zajƑđ

wymiana ciep

ųa z otoczeniem.

W procesie adiabatycznym I zasada termodynamiki ma posta

đ:

ܷ݀ ൅ ߜܮ ൌ Ͳ

A dla jednostki masy gazu doskona

ųego:

ܿ

݀ܶ ൅ ݌݀ݒ ൌ Ͳ

Wida

đ, Ǐe przy adiabatycznym rozszerzaniu gaz ochųadza siħ. Praca rozprħǏania siħ jest

wykonywana przez gaz kosztem energii wewn

ħtrznej:

ߜܮ ൌ െ݀ݑ

(1.64)

(1.63)

(1.65)

Gaz spr

ħǏany adiabatycznie (dv < 0) jednoczeƑnie ogrzewa siħ (dT > 0), przy czym praca

wykonana nad gazem jest ca

ųkowicie wykorzystana do zwiħkszenia energii wewnħtrznej gazu.

W procesie adiabatycznym obowi

Čzuje waǏny zwiČzek miħdzy ciƑnieniem a objħtoƑciČ wųaƑciwČ.

Punktem wyj

Ƒcia do uzyskania tego zwiČzku jest równanie stanu gazu doskonaųego.

݌ݒ ൌ


ܶ skČd mamy:

ܴ

ߤ

݀ܶ ൌ ݌݀ݒ ൅ ݒ݀݌

݀ܶ ൌ

݌݀ݒ ൅ ݒ݀݌

ܴ

ߤ

݌݀ݒ ൅ ݒ݀݌

ܿ

െ ܿ

(1.66)

(1.67)

Po podstawieniu wyra

Ǐenia na dT do uprzednio podanego zwiČzku: ܿ

݀ܶ ൅ ݌݀ݒ ൌ Ͳ mamy:

݌݀ݒ ൅

ܿ

ܿ

െ ܿ

݌݀ݒ ൅ ݒ݀݌ ൌ Ͳ

Sk

Čd

ܿ

݌݀ݒ ൅ ܿ

ݒ݀݌ ൌ Ͳ

Dziel

Čc obustronnie przez pv dostajemy:

ܿ

݀ݒ

ݒ

൅ ܿ

݀݌

݌

ൌ Ͳ

Po sca

ųkowaniu mamy:

Ž ݌ ൅

ܿ

ܿ

Ž ݒ ൌ Ž ܥ

C – staųa caųkowania. Po prostym przeksztaųceniu i zdelogarytmowaniu mamy:

݌ݒ

Τ

ൌ …‘•–

gdzie

ൌ ߢ nazywane jest wspóųczynnikiem Poissona, a samo równanie równaniem Poissona.

Krócej:

݌ݒ

ൌ …‘•–

(1.69)

(1.68)

(1.70)

(1.72)

(1.73)

(1.71)

background image

43

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Rysunek przedstawia krzyw

Č ciČgųČ odpowiadajČcČ procesowi adiabatycznemu (adiabatħ) i

izoterm

ħ (przerywana krzywa) .

Wi

ħksza stromoƑđ adiabaty wynika z faktu, Ǐe przy sprħǏaniu

adiabatycznym ci

Ƒnienie gazu zwiħksza siħ zarówno wskutek

kompresji obj

ħtoƑci jak i zwiħkszenia temperatury.

Przy adiabatycznym rozpr

ħǏaniu T spada i ciƑnienie gazu

maleje szybciej ni

Ǐ przy rozprħǏaniu izotermicznym.

Inne postacie równania Poissona:

݌ܶ

఑ ଵି఑

Τ

ൌ …‘•–

ݒܶ

ଵ ఑ିଵ

Τ

ൌ …‘•–

Prac

ħ wykonanČ przez masħ jednostkowČ przy rozprħǏaniu adiabatycznym masy jednostkowej

gazu ilustruje jak poprzednio zakreskowane pole na rysunku. Mo

Ǐna jČ ųatwo obliczyđ przez

nast

ħpujČce proste caųkowanie:

ܮ ൌ න ݌݀ݒ ൌ න

݌

ݒ

݀ݒ

ݒ

݌

ݒ

ͳ െ ߢ

ݒ

ଵି఑

െ ݒ

ଵି఑

݌

ݒ

ߢ െ ͳ

ͳ െ

ݒ

ݒ

ଵି఑

ܮ ൌ

ܴܶ

ߤ ߢ െ ͳ

ͳ െ

ݒ

ݒ

ଵି఑

ܮ ൌ

ܴܶ

ߤ ߢ െ ͳ

ͳ െ

݌

݌

఑ିଵ ఑

(1.75)

(1.74)

(1.76)

(1.78)

(1.77)

Kinetyczna teoria gazów

Przyjmijmy teraz,

Ǐe gaz doskonaųy bħdzie reprezentowany przez zbiór czČsteczek traktowanych

jako punkty materialne pozostaj

Čce w bezųadnym ruchu.

Teoria kinetyczna gazu doskona

ųego podaje zwiČzki miħdzy parametrami stanu gazu doskonaųego

a wielko

Ƒciami charakteryzujČcymi ruch czČsteczek.

Obliczmy ci

Ƒnienie jakie wywierajČ czČsteczki uderzajČce w Ƒcianki szeƑciennego naczynia, w któ-

rym ten gaz si

ħ znajduje. Pomijamy wzajemne oddziaųywania czČsteczek. Geometriħ badanego

uk

ųadu okreƑla poniǏszy rysunek.

background image

44

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Roz

ųóǏmy prħdkoƑđ dowolnej czČsteczki na skųadowe:

ݑ

ൌ ݑ

൅ ݑ

൅ ݑ

Przy doskonale spr

ħǏystym zderzeniu czČsteczki ze ƑciankČ ABCD szeƑcianu skųadowe z i y

pr

ħdkoƑci nie zmieniajČ siħ, zaƑ skųadowa x prħdkoƑci zmienia zwrot na przeciwny. Caųkowita

zmiana p

ħdu czČsteczki przy zderzeniu:

ο ݉

ݑ

ൌ െʹ݉

ݑ

Z II zasady dynamiki wiemy,

Ǐe:

െ݂Ԧ

ߜݐ

ൌ െʹ݉

ݑ

Zatem si

ųa oddziaųywania czČsteczki na tħ Ƒciankħ:

݂Ԧ

ൌ ʹ

݉

ݑ

ߜݐ

lub po prostu

݂

ʹ݉

ݑ

ߜݐ

Poniewa

Ǐ czas zderzenia czČsteczki ze ƑciankČ jest nieznany, wygodniej jest zamieniđ ݂

ߜݐ

na

równowa

ǏnČ wielkoƑđ ƑredniČ:

݂ҧ

οݐ

ൌ ݂

ߜݐ

ൌ ʹ݉

ݑ

Sk

ųadowa x prħdkoƑci czČsteczki zmienia kierunek tylko przy odbiciu od Ƒcianki ABCE i

równoleg

ųej do niej OEFG. Dlatego teǏ czČsteczka odbita od ABCD moǏe wróciđ do niej po

odbiciu tylko od OEFG. St

Čd moǏna wyznaczyđ ųatwo czas οݐ

οݐ

ʹ݈

ݑ

(1.80)

(1.79)

(1.81)

(1.83)

(1.82)

(1.84)

(1.85)

݂ҧ

ʹ݉

ݑ

οݐ

݉

ݑ

݈

Si

ųa Ƒrednia z jakČ wszystkie czČsteczki dziaųajČ na Ƒciankħ ABCD:

ܨത

ൌ ෍ ݂ҧ

ൌ ෍

݉

ݑ

݈

௜ୀଵ

௜ୀଵ

Za

Ƒ ciƑnienie gazu na Ƒciankħ:

݌

ܨത

݈

ͳ

݈

෍ ݉

ݑ

௜ୀଵ

Identyczne rozumowanie pozwala natychmiast zapisa

đ wzory na ciƑnienie wywierane na Ƒcianki

prostopad

ųe CDGF oraz BCFE:

݌

ͳ

݈

෍ ݉

ݑ

௜ୀଵ

݌

ͳ

݈

෍ ݉

ݑ

௜ୀଵ

Ze wzgl

ħdu na nieuporzČdkowany charakter ruchu ciƑnienie wywierane na kaǏdČ Ƒciankħ jest

jednakowe:

݌ ൌ ݌

ൌ ݌

ൌ ݌

co prowadzi natychmiast do:

෍ ݉

ݑ

௜ୀଵ

ൌ ෍ ݉

ݑ

௜ୀଵ

ൌ ෍ ݉

ݑ

௜ୀଵ

I mamy:

(1.87)

(1.86)

(1.88)

(1.89)

(1.90)

(1.91)

background image

45

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Z drugiej strony mamy:

݉

ݑ

൅ ݑ

൅ ݑ

ൌ ݉

ݑ

I dalej dla wszystkich cz

Čsteczek

෍ ݉

ݑ

௜ୀଵ

൅ ෍ ݉

ݑ

௜ୀଵ

൅ ෍ ݉

ݑ

௜ୀଵ

ൌ ෍ ݉

ݑ

௜ୀଵ

St

Čd

෍ ݉

ݑ

௜ୀଵ

ͳ
͵

෍ ݉

ݑ

௜ୀଵ

Za

Ƒ ciƑnienie gazu na Ƒcianki naczynia:

݌ ൌ

ͳ

͵݈

෍ ݉

ݑ

௜ୀଵ

ʹ
͵

ܧ

ܸ

V – objħtoƑđ szeƑcianu.

Zatem

݌ܸ ൌ

ʹ
͵

ܧ

Jest to w

ųaƑnie

podstawowe równanie teorii kinetycznej gazów

.

(1.93)

(1.92)

(1.94)

(1.95)

(1.96)

W przypadku gazu jednosk

ųadnikowego masy czČsteczek sČ identyczne co pozwala na nastħpujČcy

zapis:

ܧ

݉

ʹ

෍ ݑ

௜ୀଵ

W tym miejscu wprowadzimy wa

Ǐne pojħcie Ƒredniej prħdkoƑci kwadratowej:

ݒ

௞௪

ͳ
݊

෍ ݑ

௜ୀଵ

Pr

ħdkoƑđ Ƒrednia kwadratowa to pierwiastek kwadratowy ze Ƒredniej arytmetycznej kwadratów

pr

ħdkoƑci ruchu postħpowego wszystkich czČsteczek.

Zatem energi

ħ kinetycznČ gazu moǏna przedstawiđ jako:

ܧ

ͳ
ʹ

݊݉ݒ

௞௪

Za

Ƒ podstawowe równanie kinetycznej teorii gazów jako:

݌ܸ ൌ

ͳ
͵

݊݉ݒ

௞௪

ͳ
͵

ܯݒ

௞௪

gdzie M = nm oznacza mas

ħ gazu.

Przy nast

ħpujČcych oznaczeniach:

ܧ

ൌ ܧ

ܸ

Τ

݊

ൌ ݊ ܸ

Τ

ߩ ൌ ݊

݉

mamy:

݌ ൌ


ܧ

i

݌ ൌ


݊

݉ݒ

௞௪


ߩݒ

௞௪

(1.98)

(1.97)

(1.99)

(1.100)

(1.101)

(1.102)
(1.103)

(1.104)

background image

46

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Dla 1 kmola gazu:

݌ܸ

ͳ
͵

ߤݒ

௞௪

Wiemy te

Ǐ, Ǐe:

݌ܸ

ൌ ܴܶ

Porównanie tych zwi

Čzków daje:

ܴܶ ൌ

ͳ
͵

ߤݒ

௞௪

Sk

Čd wyznaczamy ƑredniČ prħdkoƑđ kwadratowČ:

ݒ

௞௪

͵ܴܶ

ߤ

Z uwagi na

ߤ ൌ ݉ܰ

mo

Ǐemy dalej zapisađ:

ݒ

௞௪

͵ܴܶ

݉ܰ

͵݇ܶ

݉

W ko

ŷcu podamy wzór na ƑredniČ energiħ kinetycznČ ruchu postħpowego czČsteczki gazu

doskona

ųego:

݁ҧ

ܧ

݊

݉ݒ

௞௪

ʹ

͵
ʹ

݇ܶ

Zatem

Ƒrednia energia kinetyczna ruchu postħpowego jest wyųČcznie funkcjČ temperatury.

(1.106)

(1.105)

(1.107)

(1.108)

(1.109)

(1.110)

Rysunek przedstawia zale

ǏnoƑđ tej Ƒredniej energii kinetycznej od ܶ.

W szczególno

Ƒci dla T = 0 ݁ҧ

=0.

Mo

Ǐna teǏ powiedzieđ, Ǐe T jest miarČ Ƒredniej energii kinetycznej czČsteczek gazu doskonaųego

w ich ruchu post

ħpowym.

Uwaga: Mechanika kwantowa pokazuje,

Ǐe w granicy T = 0 wynik ten jest nieprawdziwy.

݁ҧ

͵
ʹ

݇ܶ

݁ҧ

݅

ʹ

݇ܶ

݁ҧ

௞଴

ͳ
ʹ

݇ܶ

(1.111)

(1.112)

(1.113)

background image

47

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Z równania (1.33) (I zasada termodynamiki) wynika,

Ǐe

ܳ ൌ οܷ ൅ ܹ

Dla ogrzewania izochorycznego (

ȟܸ ൌ Ͳ) ܹ ൌ Ͳ:

ܳ ൌ ȟܷ

Dla ogrzewania izobarycznego (

ȟ݌ ൌ Ͳ).

Przemiana: stan pocz

Čtkowy ܷ

(

ܸ

ǡ ܶ

)

o stan koŷcowy ܷ

(

ܸ

ǡ ܶ

)

ȟܶ ൌ ܶ

െ ܶ

ȟܸ ൌ ܸ

െ ܸ

Na podstawie (1.114) mamy:

ܳ ൌ ȟܷ ൅ ݌ȟܸ ൌ ܷ

െ ܷ

൅ ݌ሺܸ

െ ܸ

ܳ ൌ ܷ

൅ ݌ܸ

െ ሺܷ

൅ ݌ܸ

Po wprowadzeniu:

ܪ

ൌ ܷ

൅ ݌ܸ

ܪ

ൌ ܷ

൅ ݌ܸ

ܳ ൌ ܪ

െ ܪ

ൌ ȟܪǡ

gdzie

ܪ ൌ ܷ ൅ ݌ܸ

jest funkcj

Č stanu zwanČ

entalpi

Č

.

Tak wi

ħc dla ogrzewania izobarycznego (݌ ൌ ܿ݋݊ݏݐ)

ܳ

ൌ ȟܪ

dla ogrzewania izochorycznego (

ܸ ൌ ܿ݋݊ݏݐ)

ܳ

ൌ ȟܷ Ǥ

(1.115)

(1.114)

(1.116)
(1.117)

(1.118)

(1.120)

(1.119)

(1.121)
(1.122)

(1.123)

(1.124)

(1.125)

Procesy egzotermiczne i endotermiczne

Ciep

ųo wymieniane z otoczeniem ma szczególne znaczenie w reakcjach chemicznych. Dla gazów,

w zale

ǏnoƑci od ȟܷ oraz ȟܪ reakcja jest:

¾ egzotermiczna: ȟܷ ൏ Ͳ lub ȟܪ ൏ Ͳ (ukųad oddaje energiħ do otoczenia)
¾ endotermiczna: ȟܷ ൐ Ͳ lub ȟܪ ൐ Ͳ (ukųad pobiera energiħ z otoczenia).

Dla cieczy i cia

ų staųych – maųe zmiany objħtoƑci: ȟܪ ൌ ȟܷ.

Procesy odwracalne i nieodwracalne

Proces termodynamiczny jest

odwracalny

, je

Ƒli ukųad moǏe powróciđ do stanu poczČtkowego bez

wywo

ųania jakichkolwiek zmian w otoczeniu.

Proces nie spe

ųniajČcy tego warunku jest

nieodwracalny

.

Idealizacja – przyk

ųad: drgania sprħǏyste niegasnČce w próǏni, ruch wahadųa (bez tarcia).

Przyk

ųad procesu nieodwracalnego: hamowanie ruchu ciaųa pod wpųywem siųy tarcia.

Kosztem energii kinetycznej cia

ųa wzrasta energia wewnħtrzna ciaųa i otoczenia. Proces ten

zachodzi samorzutnie. Natomiast chaotyczny ruch cz

Čsteczek ciaųa nie moǏe samorzutnie

doprowadzi

đ do ruchu uporzČdkowanego ciaųa jako caųoƑci. Konieczne jest np. ochųodzenie

uk

ųadu to poczČtkowej temperatury (oddanie przez ciaųo dodatkowego ciepųa) i wykonanie nad

cia

ųem pracy by wróciđ do stanu poczČtkowego – wtedy jednak stan otoczenia ulega zmianie.

Zatem wszelkie procesy z udzia

ųem tarcia sČ nieodwracalne.

Podobnie nieodwracalny jest proces wymiany ciep

ųa przy skoŷczonej róǏnicy temperatur.

Wyrównywanie temperatur dwóch cia

ų w kontakcie – samorzutne, ale odwrotnie ogrzanie

jednego z cia

ų kosztem ochųodzenia drugiego przy poczČtkowej jednakowej ܶ obu ciaų wymaga

zastosowania urz

Čdzenia chųodniczego.

background image

48

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Entropia

Procesy makroskopowe w przyrodzie – procesy nieodwracalne – przep

ųywy.

Bod

Ǎce dla przepųywów:

¾ róǏnica ciƑnieŷ
¾ róǏnica temperatur
¾ róǏnica potencjaųu elektrostatycznego

Skutki przep

ųywów – zanik bodǍców.

Istnienie bod

Ǎców, a stan uporzČdkowania ukųadu.

Zwi

Čzek stanu makroskopowego ze stanami mikroskopowymi – uƑrednianie wielkoƑci fizycznych.

Miara nieporz

Čdku – liczba mikrostanów mogČcych zrealizowađ stan makroskopowy – im wiħcej

takich mo

ǏliwoƑci, tym wiħkszy nieporzČdek.

Entropia

– funkcja stanu uk

ųadu, której róǏniczka w elementarnym procesie odwracalnym:

݀ܵ ൌ

ߜܳ

ܶ

W dowolnym procesie odwracalnym przeprowadzaj

Čcym ukųad ze stanu 1 do stanu 2:

ܵ

െ ܵ

ൌ න

ߜܳ

ܶ

൒ Ͳ

Statystyczna interpretacja (wzór Boltzmanna):

ܵ ൌ ݇ Ž ܲ ൅ ܿ݋݊ݏݐǡ

gdzie

݇ ൌ ͳǡ͵ͺ ڄ ͳͲ

ିଶଷ

Ȁ†‡‰ – staųa Boltzmanna, ܲ – termodynamiczne prawdopodobieŷstwo

stanu

(1.126)

(1.127)

(1.128)

Druga zasada termodynamiki

I zasada termodynamiki nie okre

Ƒla kierunku przebiegu procesu.

Opieraj

Čc siħ tylko na I zasadzie termodynamiki moǏna by usiųowađ skonstruowađ silnik

dzia

ųajČcy cyklicznie i wykonujČcy pracħ kosztem oziħbienia jednego Ǎródųa ciepųa (perpetuum

mobile drugiego rodzaju).

Niemo

Ǐliwe jest zbudowanie perpetuum mobile II rodzaju.

II zasada termodynamiki jest formu

ųowana na wiele sposobów, np.

1) Niemo

Ǐliwy jest proces, którego jedynym wynikiem jest zamiana ciepųa otrzymanego ze

Ǎródųa ciepųa na równowaǏnČ mu pracħ.

2) Niemo

Ǐliwy jest proces, którego jedynym wynikiem jest przekazanie energii w postaci ciepųa

od cia

ųa zimniejszego do cieplejszego.

3) Podczas wszelkich procesów zachodz

Čcych w ukųadzie zamkniħtym, prawdopodobieŷstwo

stanu uk

ųadu nie moǏe siħ zmniejszađ.

4) W uk

ųadzie izolowanym zachodziđ mogČ jedynie procesy w których entropia siħ zwiħksza.

Trzecia zasada termodynamiki

Uk

ųad termodynamiczny w stanie równowagi, w ܶ ൌ Ͳ znajduje siħ w stanie maksymalnego

uporz

Čdkowania, a jego entropia wynosi 0:

Ž‹

்՜଴

ܵ ൌ ͲǤ

(1.129)

Pobierz cały dokument
Podstawy fizyki z elementami biofizyki mat 02d.pdf
Rozmiar 764,7 KB

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Podstawy fizyki z elementami biofizyki mat 04
Podstawy fizyki z elementami biofizyki mat 03
Podstawy fizyki z elementami biofizyki, zagadnienia na egzamin
Podstawy fizyki z elementami biofizyki zagadnienia na egzamin
3 Podstawy fizyki polprzewodnik Nieznany (2)
fiele25, Mechanika i Budowa Maszyn PWR MiBM, Semestr I, Fizyka, laborki, sprawozdania z fizykii, Lab
,Laboratorium podstaw fizyki, WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZALNOŚCI LINIOWEJ METODĄ
Laboratorium podstaw fizyki ćw ?
Laboratorium Podstaw Fizykipa
Laboratorium Podstaw Fizykiw
Podstawy Fizyki ćw 7 i 8
Podstawy automatyki (w 5) elementy wykonawcze i pomiarowe ppt [tryb zgodnosci]
Laboratorium Podstaw Fizyki id Nieznany
fiele15, Mechanika i Budowa Maszyn PWR MiBM, Semestr I, Fizyka, laborki, sprawozdania z fizykii, Lab

więcej podobnych podstron