MLR2x str. 77

MLR2x str. 78

YKŁ

A

D

Y

WIEL

OMIANÓW

PRZYKŁADY WIELOMIANÓW

Przykłady jednomianów:

4x

16

−3m

5

2
3

y

−3

√

2t

101

Obok zapisano kilka prostych wyrażeń
algebraicznych z jedną zmienną.

Wyrażenie postaci ax

n

, gdzie a

∈



,

n

∈



, nazywamy jednomianem zmien-

nej x. Gdy a

= 0, liczbę naturalną n

nazywamy stopniem jednomianu.

Uwaga. Jednomianami nazywamy także wy-
rażenia, w których występuje więcej zmien-
nych, np. 3x

2

y, ab

3

,

3
5

m

5

n

6

. Nie będziemy

się nimi jednak zajmować w tym rozdziale.

Zauważ, że liczby rzeczywiste różne od zera, np. 3, −0,7 i

√

2, to jednomia-

ny stopnia zerowego, gdyż można je przedstawić w postaci odpowiednio:
3x

0

, −0,7x

0

i

√

2x

0

.

Jednomiany oraz ich sumy nazywamy wielomianami.

Przykłady wielomianów:

4x

5

+ 11x

3

+ 7

3t

7

− 13t

5

+ t

4

− 9

−8a

3

−

2
3

a

5

0,04u

8

2

√

6x

6

+ 3x

5

− x

2

− 3x + 1

m

3

+ 2

6

Wielomianem stopnia

n zmiennej x na-

zywamy wyrażenie postaci:

a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ ... + a

2

x

2

+ a

1

x + a

0

,

gdzie współczynniki a

n

, a

n−1

, ..., a

2

, a

1

, a

0

są liczbami rzeczywistymi

i

n

∈



oraz a

n

= 0.

Współczynnik a

0

nazywamy wyrazem

wolnym.

Zmienna wielomianu może oczywiście
być oznaczona dowolną literą.

Wielomianami nazywać będziemy także wyrażenia typu x

2

+ 2x

3

, (2x − 1)

2

,

gdyż każde z nich można przekształcić do postaci a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ . . . + a

0

.

A

Określ stopień każdego z wielomianów podanych w przykładach powyżej.

Jednomian 0 jest także wielomianem, nazywamy go wielomianem zero-
wym.

Wielomian zerowy można zapisać na różne sposoby, na przykład: 0

·x

2

, 0

·x,

0

·x

0

. Jak widać, zmienna w takim wielomianie może występować w dowolnej

potędze, dlatego stopień jednomianu 0 nie jest określony.

78

WIELOMIANY

MLR2x str. 79

Przykłady dwumianów:

2x − 1

x

3

+ 2

3x

5

−

√

2x

3
4

x

7

+ x

12

Przykłady trójmianów:

3x

2

− 2x + 3

2
3

x

8

+ x

4

+ 1

x

10

− 2x

7

+ x

6

√

7x

5

− x − x

6

Wielomian, który jest sumą dwóch nie-
zerowych jednomianów różnych stopni,
nazywamy dwumianem, a sumę trzech
jednomianów (różnych stopni) nazywa-
my trójmianem.

Trójmian, który jest wielomianem dru-
giego stopnia, nazywamy trójmianem
kwadratowym.

B

1.

Wypisz współczynniki przy najwyższej

potędze każdego z dwumianów i trój-
mianów zapisanych obok.

2.

Podaj przykład trójmianu kwadrato-

wego o współczynnikach całkowitych.

3.

Czy wyrażenie (2x−3)

2

jest trójmianem

kwadratowym?

Wielomiany można dodawać, odejmować i mnożyć. Wykonując tego typu
działania, otrzymujemy nowy wielomian, który warto uporządkować, czyli
przedstawić w postaci jak najprostszej sumy algebraicznej. Należy w tym
celu zredukować wyrazy podobne, a występujące w nim jednomiany zapi-
sać w kolejności od stopnia najwyższego do najniższego.
Wartość wielomianu dla danej liczby otrzymamy, wstawiając w wielomia-
nie tę liczbę w miejsce zmiennej.

P

Oblicz wartość wielomianu W (x ) = x

3

− 2x

2

− x + 10 dla x = −1.

W (−1) = (−1)

3

− 2

· (−1)

2

− (−1) + 10 = 8

P

a) dodawanie wielomianów

(7 − 5x

5

− 3x

2

) + (3x

2

− 4x − x

5

) = 7 − 5x

5

− 3x

2

+ 3x

2

− 4x − x

5

= −6x

5

− 4x + 7

b) odejmowanie wielomianów

(−8x

4

− 2x

6

+ 3) − (3 − 5x + 2x

6

) = −8x

4

− 2x

6

+ 3 − 3 + 5x − 2x

6

= −4x

6

− 8x

4

+ 5x

c) mnożenie wielomianów

(3−2x

5

+x )(−5x

2

−x ) = −15x

2

−3x +10x

7

+2x

6

−5x

3

−x

2

= 10x

7

+2x

6

−5x

3

−16x

2

−3x

C

Doprowadź wielomiany W (x) i P (x) do najprostszej postaci. Porównaj stopnie
i współczynniki obu tych wielomianów.

W (x) = 4x

2

− (2x − 3)

2

P (x) = 6x(5x

2

+ 2) − 3(10x

3

+ 3)

PRZYKŁADY WIELOMIANÓW

79

MLR2x str. 80

Dwa wielomiany tej samej zmiennej są równe, gdy są tego samego stopnia
i po zapisaniu każdego z nich w postaci a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ . . . + a

0

współ-

czynniki przy odpowiednich potęgach są równe.

P

Rozważmy wielomiany: U(x ) = ax

2

+bx , V (x ) = 2x

3

−11x

2

+12x oraz W (x ) = x −3.

Dla jakich wartości współczynników a i b wielomian U(x ) − V (x ) jest równy wie-
lomianowi U(x )

· W (x)?

U(x) − V (x) = (ax

2

+ bx ) − (2x

3

− 11x

2

+ 12x ) = ax

2

+ bx − 2x

3

+ 11x

2

− 12x =

= −2x

3

+ (a + 11)x

2

+ (b − 12)x

U(x) · W (x) = (ax

2

+ bx )(x − 3) = ax

3

− 3ax

2

+ bx

2

− 3bx = ax

3

+ (b − 3a)x

2

− 3bx

U(x) − V (x) = −2x

3

+ (a + 11)x

2

+ (b − 12)x

U(x) · W (x) = ax

3

+ (b − 3a)x

2

− 3bx

⎧

⎪

⎨
⎪

⎩

−2 = a
a + 11 = b − 3a
b − 12 = −3b

Porównujemy współczynniki obu wielomia-
nów przy odpowiednich potęgach zmiennej;
rozwiązujemy układ równań.

Stąd a = −2 i b = 3.

Liczby a = −2 oraz b = 3 spełniają każde
z trzech równań układu.

ZADANIA

1.

Wśród podanych wyrażeń algebraicznych znajdź wielomiany i określ stopień

każdego z nich.

a)

7x

5

− 5x

7

2

d) 6u

3

− 11u

−2

+ 4

g)

√

3z

105

+

z

5

3

b)

1

x

3

− 5x

2

+ 4

e) −2x

6

− 5

√

x + 4

h) 8

1
2

c) 0,2t + 6t

3

− 1,4t

10

f) −3w

7

i) 5w

1
3

+ 4w

2.

Przedstaw podane wyrażenie w postaci jednomianu ax

n

.

a)

4x

7

0,8

c) x

2

+ x

2

√

2

e)

5x

2

− (3x)

2

2

b)



−

1
2

x

2



3

· x

3

d)

3x

3

2

· x

2

−

1
5

x

5

f) 4x

7

·



1
2

x



3

3.

Oblicz wartość wielomianu dla podanej wartości zmiennej.

a) −

1
2

x

3

+

3
4

x

2

−

1
3

dla x = 2

c) 3(3x − 2)

2

(x + 3) dla x =

2
3

b) 0,02t

5

− 0,042t

3

+ t dla t = −10

d) x(x − 5)

2

(x − 1) dla x = −1

80

WIELOMIANY

MLR2x str. 81

4.

a) Wartość wielomianu W (x) = x

3

+r x

2

+sx+t dla x = 1 wynosi −2, czyli W (1) = −2.

Wiadomo też, że W (−1) = −10 i W (0) = −4. Znajdź wartości współczynników r , s, t.

b) Dany jest wielomian W (x) = ax

5

+ bx

2

+ c. Znajdź wartości współczynników a, b

oraz c, jeśli wiadomo, że W (

√

2) = 4, W (−

√

2) = −12 i W (0) = −10.

5.

Wynik działania przedstaw w postaci uporządkowanego wielomianu.

a)



−3x

5

+ 5x

7

−

1
2



+



3 −

1
2

x

2

− 7x

5

− x

3



d) (5x

3

− 2)(x

3

+ 1) − 6x

3

(2 − x

3

)

b)



4
5

x − 8x

3



−



2
5

x

5

−

3
5

x + 2 − 8x

3



e) (−3x

3

+ 2x

5

)(x

5

− 1 + 5x

3

)

c) −x(x

4

− 8x

3

− 5) + 4x

4

(3x − 2)

f) (2 − x

6

− 4x

2

)(x

4

− 7x

6

− 2)

6.

Wykonaj działania i przedstaw otrzymany wielomian w jak najprostszej postaci.

a) [−(5x

4

+ 3x

2

− 4x) + 3x

2

(2x

2

− 1)]

· (1 − 2x)

b) [4x(−2x

9

+ 7x

3

) − (20x

4

− 8x

10

)]

· [1 − 5(2 − x

2

)]

c) (3 − 4x

3

)(5x

2

+ x) − [−5(x

5

+ 2x

2

) + x(6x

4

− 5x

2

)]

7.

Niech P oznacza wielomian −4x + 5, Q — wielomian x

2

− 3x + 1, a R — wielomian

2x

3

− 1. Wykonaj działania:

a) P − (Q + R)

b) 4Q − 3P +

1
2

R

c) R

· (P + Q)

8.

Nie wykonując działań, określ wyraz wolny oraz stopień wielomianu:

a) (5x

2

+ 3)(3x

3

+ 2x

2

− 1)

c) (2x + 1)

4

(x − 9)

2

(x

2

+ 2)

b) (3x − 2)(x + 5)(7 − x)

d) −3x

7

(2x

3

+ 2)

5

(7 + x

2

)

3

9.

Stopień pewnego wielomianu W (x) jest równy m, a stopień wielomianu V (x)

wynosi n (m > n). Określ stopień wielomianu:

a) W (x) + V (x)

b) W (x) − V (x)

c) W (x)

· V(x)

10.

Podaj przykłady dwóch wielomianów stopnia czwartego, których:

a) suma jest jednomianem stopnia trzeciego,

b) iloczyn jest dwumianem.

11.

Ustal, dla jakich wartości współczynników p, q, r wielomian x

4

+px

3

+qx

2

+r x+1

jest równy wielomianowi:

a) (x

2

− 1)

2

c) (x

2

+ 5x − 1)

2

b) (x − 2)



x

3

− 3x −

1
2



d) (x

2

− 2x)(x

2

+ 2x) + 1

12.

Dane są wielomiany A(x) = 3x

2

+ 5x + 2, B(x) = 9x

3

+ 3x

2

− 17x − 4 oraz

C(x) = mx + n. Dla jakich wartości współczynników m i n wielomian B(x) + C(x)
jest równy wielomianowi A(x)

· C(x)?

PRZYKŁADY WIELOMIANÓW

81

MLR2x str. 82

13.

Jakie jednomiany można wstawić w miejsce liter A, B i C, aby zachodziła

równość wielomianów?

a) A(2x

2

+ x − B) = 4x

4

+ C − 14x

2

b) A(9x

2

− 6x + 5) = B + 2x

4

+ C

14.

Pewien cukiernik układa pączki w piramidy, tak

jak pokazano na zdjęciu obok. Liczba pączków w pi-
ramidzie o n warstwach wynosi:

1
3

n

3

+

1
2

n

2

+

1
6

n

a) Oblicz, z ilu pączków zbudowana jest piramida
o 12 warstwach.

b) Uzasadnij, że liczba pączków w piramidzie, która
ma n + 1 warstw, jest o (n + 1)

2

większa od liczby

pączków w piramidzie o n warstwach.

TEST

T1.

Który z poniższych wielomianów jest wielomianem szóstego stopnia?

A. (6x

3

− 6x

2

+ 6)

6

B. 4x

5

− 3x

4

+ 2x

3

+ x

2

− 2x + 3

C. (5x

5

+ 2x

4

) + (x

5

+ 4x

4

)

D. (4x

2

− 3x)(2x

4

− 6)

T2.

Dla jakiej wartości a wielomiany (x + a)(2x

3

− x) i 5x − (x

2

+ 10x

3

− 2x

4

) są równe?

A. a = −5

B. a = −2

C. a = 1

D. a = 5

T3.

Stopień wielomianu W (x) jest równy 5, a stopień wielomianu V (x) to 4. Który z

poniższych wielomianów jest stopnia dziewiątego?

A. W (x) + V (x)

B. 4W (x) − 5V (x)

C. W (x) − x

5

·V(x)

D. x

·W (x) ·V(x)

ZYNNIKI

ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI

A

Wykonaj mnożenie wielomianów.

1.

−3x

2

(3 − 2x + 5x

2

)

2.

(x

2

− 3)(2x + 5)

3.

(1 − 2x + x

3

)(4x

2

− 3)

Wiadomo, że w wyniku mnożenia wielomianów otrzymujemy pewien wie-
lomian. Czasami można wykonać operację odwrotną — rozłożyć dany
wielomian na czynniki, to znaczy przedstawić go w postaci iloczynu in-
nych wielomianów.

82

WIELOMIANY

MLR2x str. 83

P

Rozłóż wielomiany na czynniki.

a) 6x

3

− 3x

2

+10x − 5 =

W każdym z zaznaczonych dwumianów wy-
łączamy wspólny czynnik przed nawias.

= 3x

2

(2x − 1) + 5(2x − 1) =

Wyłączamy wspólny czynnik (dwumian 2x −1)
przed nawias.

= (2x − 1)(3x

2

+ 5)

b) 5x

4

+ 20x

3

+ x

2

+ 4x =

W każdym z zaznaczonych dwumianów wy-
łączamy wspólny czynnik przed nawias.

= 5x

3

(x + 4) + x (x + 4) =

Wyłączamy wspólny czynnik (dwumian x + 4)
przed nawias.

= (x + 4)(5x

3

+ x ) =

W zaznaczonym dwumianie wyłączamy wspól-
ny czynnik przed nawias.

= x (x + 4)(5x

2

+ 1)

Wzory skróconego mnożenia

(

a + b)

2

=

a

2

+ 2

ab + b

2

(

a − b)

2

=

a

2

− 2

ab + b

2

a

2

−

b

2

= (

a − b)(a + b)

a

3

+

b

3

= (

a + b)(a

2

−

ab + b

2

)

a

3

−

b

3

= (

a − b)(a

2

+

ab + b

2

)

(

a + b)

3

=

a

3

+ 3

a

2

b + 3ab

2

+

b

3

(

a − b)

3

=

a

3

− 3

a

2

b + 3ab

2

−

b

3

B

Udowodnij cztery ostatnie spośród
wzorów zapisanych obok.

W poniższych przykładach pokazuje-
my, jak można rozkładać wielomian
na czynniki, korzystając ze wzorów
skróconego mnożenia.

P

Rozłóż wielomiany na czynniki.

a) x

4

− 25 = (x

2

− 5)(x

2

+ 5) =

Dwukrotnie stosujemy wzór
a

2

− b

2

= (a − b)(a + b).

= (x −

√

5)(x +

√

5)(x

2

+ 5)

b) x

5

+ x

4

+ x

3

− 8x

2

− 8x − 8 =

W każdym z zaznaczonych trójmianów wyłą-
czamy wspólny czynnik przed nawias.

= x

3

(x

2

+ x + 1) − 8(x

2

+ x + 1) =

Wyłączamy wspólny czynnik (trójmian
x

2

+ x + 1) przed nawias.

= (x

2

+ x + 1)(x

3

− 8) =

Stosujemy wzór
a

3

− b

3

= (a − b)(a

2

+ ab + b

2

).

= (x

2

+ x + 1)(x − 2)(x

2

+ 2x + 4)

c) x

6

+ 2x

3

+ 1 = (x

3

)

2

+ 2x

3

+ 1 =

Stosujemy wzór a

2

+ 2ab + b

2

= (a + b)

2

, a na-

stępnie wzór a

3

+ b

3

= (a + b)(a

2

− ab + b

2

).

= (x

3

+ 1)

2

= [(x + 1)(x

2

− x + 1)]

2

=

= (x + 1)

2

(x

2

− x + 1)

2

ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI

83

MLR2x str. 84

Zauważ, że w przykładach na poprzedniej stronie czynniki występujące
w rozkładzie wielomianu nie miały stopnia wyższego niż 2. Można się
zastanawiać, czy dowolny wielomian da się rozłożyć na takie czynniki.
Odpowiedź na to pytanie znano już w XVIII wieku:

Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego.

CIEKAWOSTKA

Pierwszy poprawny dowód powyższego twierdzenia podał Carl Friedrich
Gauss (1777–1855). Uważany jest on, obok Archimedesa i Newtona, za
jednego z największych matematyków świata (zwany był nawet księciem
matematyków). Zajmował się prawie wszystkimi działami matematyki,
a także fizyką i astronomią. Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na
czynniki stopnia najwyżej drugiego udowodnił w wieku 22 lat w swojej
rozprawie doktorskiej. W tamtych czasach algebra była nauką o roz-
wiązywaniu równań, a dowiedzione przez Gaussa twierdzenie pozwoliło
rozstrzygnąć wiele problemów dotyczących równań.

Czasem aby rozłożyć wielomian na czynniki, trzeba się wykazać pomy-
słowością i zastosować nietypowe metody przekształcania wielomianów,
np. przedstawić jednomian jako sumę dwóch jednomianów albo dodać
i odjąć ten sam jednomian.

P

Rozłóż wielomiany na czynniki.

a) 2x

4

+ x

3

+ 3x

2

+ x + 1 =

Zastępujemy jednomian 3x

2

sumą x

2

+ 2x

2

.

= x

4

+ x

3

+ x

2

+ 2x

2

+ x + 1 =

W zaznaczonym trójmianie wyłączamy wspól-
ny czynnik przed nawias.

= x

2

(2x

2

+ x + 1) + 2x

2

+ x + 1 =

Wyłączamy wspólny czynnik (trójmian
2x

2

+ x + 1) przed nawias.

= (2x

2

+ x + 1)(x

2

+ 1)

b) 4x

3

− 5x + 1 =

Zastępujemy jednomian −5x sumą −4x − x .

= 4x

3

− 4x − x + 1=

W zaznaczonych dwumianach wyłączamy
wspólny czynnik przed nawias.

= 4x (x

2

− 1) − (x − 1) =

stosujemy wzór a

2

− b

2

= (a − b)(a + b)

= 4x (x − 1)(x + 1) − (x − 1) =

Wyłączamy wspólny czynnik (dwumian x − 1)
przed nawias.

= (x − 1)[4x (x + 1) − 1] =

= (x − 1)(4x

2

+ 4x − 1)

84

WIELOMIANY

MLR2x str. 85

c) x

4

+ 4 =

Dodajemy i odejmujemy jednomian 4x

2

.

= x

4

+ 4x

2

+ 4 − 4x

2

=

Stosujemy wzór a

2

+ 2ab + b

2

= (a + b)

2

.

= (x

2

+ 2)

2

− 4x

2

=

Stosujemy wzór a

2

− b

2

= (a − b)(a + b).

= (x

2

+ 2 − 2x )(x

2

+ 2 + 2x ) =

= (x

2

− 2x + 2)(x

2

+ 2x + 2)

Uwaga. We wszystkich powyższych przykładach czynniki otrzymane po roz-
łożeniu wielomianu miały stopień co najwyżej 2. Czasami czynniki, które są
trójmianami kwadratowymi (np. trójmian 4x

2

+ 4x − 1 w drugim przykładzie),

można przedstawić w postaci iloczynu dwumianów stopnia pierwszego. Wzory
pozwalające rozkładać na czynniki trójmiany kwadratowe przypomnimy w na-
stępnym rozdziale.

ZADANIA

1.

Rozłóż wielomian na czynniki.

a) x

5

+ x

3

h) 10x

3

+ 25x

2

+ 8x + 20

b) x

4

− x

3

+ x

2

i) x

5

+ 10x

4

+ x

3

+ 10x

2

c) x

3

+ 4x

2

+ x + 4

j) 3x

4

− 7x

3

+ 3x

2

− 7x

d) 6x

3

− 5x

2

+ 6x − 5

k) x

6

+ 3x

5

+ 2x

4

+ 6x

3

e) x

3

−

1
2

x

2

+ x −

1
2

l) 2x

5

+ 5x

4

+ 8x

3

+ 20x

2

f) x

3

− 5x

2

+ 3x − 15

m) 15x

6

− 10x

5

+ 45x

4

− 30x

3

g) 2x

3

− 3x

2

+ 6x − 9

n) −24x

4

+ 120x

3

− 30x

2

+ 150x

2.

Zapisz podane wyrażenie w postaci uporządkowanego wielomianu (skorzystaj

z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia).

a) (3x + 1)

2

d) (2 − 5p)

2

g) (x + 1)

3

b) (x

2

+ 2x)

2

e) (2x

3

−

√

3)(2x

3

+

√

3)

h) (3 − 2x)

3

c) (a −

√

7)

2

f) (k

3

+

√

2)(

√

2 − k

3

)

i) (

√

7 + 2z)

3

3.

Rozłóż wielomian na czynniki (skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia).

a) x

2

− 16

e) x

2

− 6x + 9

i) x

3

− 27

b) 4x

2

− 5

f)

1
9

x

2

+

1
3

x +

1
4

j) x

3

+ 1

c) 49x

4

−

1

81

g) x

4

− 2x

2

+ 1

k)

1

27

x

3

− 8

d) x

7

− 100x

5

h) (x + 3)

2

+ 2(x + 3) + 1

l) 64x

10

+ x

7

ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI

85

MLR2x str. 86

4.

Znajdź liczby, które należy wpisać w kratki, a następnie rozłóż otrzymany wie-

lomian na czynniki.

a) 6x

3

+ 5x

2

+ 16x + 5 = 6x

3

+ 2x

2

+

x

2

+

x + x + 5

b) 5x

4

− 9x

3

+ x

2

+ 3x = 5x

4

− 4x

3

− 3x

2

+

x

3

+

x

2

+ 3x

c) −7x

5

+ 9x

4

+ x

3

− 3x

2

= −7x

5

+

x

4

+ 3x

3

+ 7x

4

+

x

3

− 3x

2

5.

Rozłóż wielomian na czynniki.

a) x

5

+ 3x

4

+ 2x

3

+ 3x

2

+ x

c) 7x

4

+ 3x

3

+ 2x

2

+ 3x − 5

e) x

3

− 6x − 4

b) 3x

4

− 5x

3

+ 5x

2

− 5x + 2

d) x

5

− 2x

4

+ x

2

+ x

3

+ 3

f) 2x

3

− 3x

2

+ 1

6.

a) Rozłóż wielomian x

3

+ 5x

2

+ 3x + 15 na czynniki, a następnie uzasadnij, że

przyjmuje on wartości dodatnie tylko dla x > −5.

b) Rozłóż wielomian 4x

3

− 8x

2

+ 3x − 6 na czynniki, a następnie określ, dla jakich

wartości x wielomian ten przyjmuje wartości ujemne.

c) Rozłóż wielomian −12x

5

+ 6x

4

− 2x + 1 na czynniki, a następnie uzasadnij, że dla

ujemnych wartości x wielomian ten przyjmuje wartości dodatnie.

7.

Zapisz podane wyrażenie w prostszej postaci (przyjmij, że x jest liczbą, dla

której wyrażenie występujące pod kreską ułamkową jest różne od 0).

a)

x

3

− 3x

2

+ x − 3

x − 3

b)

30x

4

− 6x

3

+ 45x

2

− 9x

8x

3

+ 12x

c)

3x

2

− 5x + 2

3x

3

− 2x

2

− 12x + 8

8.

a) Rozłóż wielomian n

3

− n na czynniki, a następnie uzasadnij, że dla każdej

liczby całkowitej n wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez 3.

Wskazówka. Jedna z trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3.

b) Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej n wartość wielomianu n

4

− 2n

3

+ n

2

jest

liczbą podzielną przez 4.

c) Uzasadnij, że dla dowolnej liczby całkowitej n wartość wielomianu n

5

− n jest

liczbą podzielną przez 6.

TEST

T1.

Dwumian 2x+3 nie jest czynnikiem jednego z poniższych wielomianów. Wskaż

ten wielomian.

A. 4x

2

+ 12x + 9

B. 8x

3

+ 27

C. 4x

2

+ 9

D. 4x

2

− 9

T2.

Wyrażenie

x

3

+ 2x

2

+ 5x + 10

x

2

+ 5

można uprościć do postaci:

A. x + 2

B. x

3

+ x

2

+ 5x + 5

C. x

3

+ 5x + 12

D. 2x + 2

86

WIELOMIANY

MLR2x str. 87

NANIA

WIEL

OMIANOWE

RÓWNANIA WIELOMIANOWE

Liczba rozwiązań równania ax

2

+ bx + c = 0 ,

gdzie a

= 0, zależy od wartości wyróżnika

Δ = b

2

− 4ac.

Jeśli Δ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania:

x

1

=

−

b −

√

Δ

2

a

x

2

=

−

b +

√

Δ

2

a

Jeśli Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie:

x

0

=

−

b

2

a

Jeśli Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązań.

A

Rozwiąż równanie:

1.

−15x + 6 = 0

2.

3(4x − 7) = −2(14 − 6x)

B

Rozwiąż równanie:

1.

2x

2

− 5x = 3

2.

1
2

x −

1
4

x

2

= 0

W powyższych ćwiczeniach podano przykłady równań, które można prze-
kształcić tak, aby po jednej stronie występował wielomian, a po drugiej —
liczba 0.

Równanie postaci W (x) = 0, gdzie W (x) jest wielomianem stopnia n, nazy-
wamy równaniem wielomianowym stopnia

n.

Liczbę, która jest rozwiązaniem równania wielomianowego W (x) = 0, nazy-
wamy pierwiastkiem wielomianu W (x).

Uwaga. Liczby, które spełniają takie równanie, nazywane są także pierwiastkami
równania.

Potrafisz już znajdować pierwiastki wielomianu pierwszego stopnia i wie-
lomianu drugiego stopnia. Pokażemy teraz, jak znajdować pierwiastki
niektórych wielomianów wyższych stopni.

C

Podaj liczby, które spełniają równanie:

1.

(x + 1)(x − 6) = 0

2.

(x − 2)

4

= 0

3.

3x(x − 1)(2x − 4) = 0

Dosyć łatwo można rozwiązać równanie wielomianowe W (x) = 0, gdy wie-
lomian W (x) przedstawiony jest w postaci iloczynowej.

a

· b = 0

⇑

⇓

a = 0 lub b = 0

Wystarczy skorzystać z faktu, że iloczyn jest
równy zero wtedy, gdy którykolwiek z czyn-
ników jest równy zero. Wobec tego przy roz-
wiązywaniu równań wielomianowych stopnia
wyższego niż 2 przydaje się umiejętność roz-
kładania wielomianu na czynniki.

RÓWNANIA WIELOMIANOWE

87

MLR2x str. 88

P

Rozwiąż równania.

a) x

5

− 6x

4

= 40x

3

x

5

− 6x

4

− 40x

3

= 0

Przekształcamy równanie do postaci W (x) = 0.

x

3

(x

2

− 6x − 40) = 0

Wielomian W (x ) rozkładamy na czynniki.

x

3

= 0

lub x

2

− 6x − 40 = 0

x = 0

Δ = (−6)

2

− 4

· 1 · (−40) = 196

√

Δ = 14

x

1

=

6 − 14

2

= −4

x

2

=

6 + 14

2

= 10

x = 0 lub x = −4 lub x = 10

b) x

5

− 3x

4

− 8x

3

+ 24x

2

− 9x + 27 = 0

x

4

(x − 3) − 8x

2

(x − 3) − 9(x − 3) = 0

(x − 3)(x

4

− 8x

2

− 9) = 0

x − 3 = 0

x = 3

lub

x

4

− 8x

2

− 9 = 0

x

2

= t

t

2

− 8t − 9 = 0

Δ = (−8)

2

− 4

· (−9) = 100

√

Δ = 10

t

1

=

8 − 10

2

= −1

t

2

=

8 + 10

2

= 9

W miejsce x

2

podstawiamy t

i rozwiązujemy otrzymane rów-
nanie z niewiadomą t.

x

2

= −1

lub

x

2

= 9

Rozwiązujemy równania x

2

= t

1

i x

2

= t

2

.

równanie

sprzeczne

x = 3 lub x = −3

x = 3 lub x = −3

c) 12x

6

− 3x

2

= 0

3x

2

(4x

4

− 1) = 0

3x

2

(2x

2

− 1)(2x

2

+ 1) = 0

3x

2

= 0

x = 0

lub

2x

2

− 1 = 0

x

2

=

1
2

x =



1
2

lub x = −



1
2

lub

2x

2

+1 = 0

równanie

sprzeczne

x = 0 lub x =

√

2

2

lub x = −

√

2

2

88

WIELOMIANY

MLR2x str. 89

Zastanówmy się teraz, jaki może być związek między stopniem wielomianu
W (x) a liczbą pierwiastków tego wielomianu.

Wiadomo, że wielomian pierwszego stopnia ma jeden pierwiastek (każde
równanie postaci ax + b = 0, gdzie a

= 0, ma jedno rozwiązanie).

Wiadomo także, że wielomian drugiego stopnia może mieć dwa pierwiastki
lub jeden pierwiastek, lub może nie mieć pierwiastków.

D

1.

Każdy z trzech poniższych wielomianów jest wielomianem trzeciego stop-

nia. Ustal, ile pierwiastków mają te wielomiany.

U(x) = x(x − 2)(x + 3)

V (x) = (x + 1)(x

2

− 3x + 5)

W (x) = x(x + 5)

2

2.

Podaj przykład wielomianu czwartego stopnia, który nie ma pierwiastków.

3.

Podaj przykład wielomianu piątego stopnia, który ma dokładnie jeden pier-

wiastek.

Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugie-
go (zob. str. 84). Wobec tego:

Wielomian n-tego stopnia ma co najwyżej n pierwiastków (wielomian
n-tego stopnia można rozłożyć na co najwyżej n wielomianów pierwsze-
go stopnia).

Wielomian nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek (po-
nieważ w jego rozkładzie na czynniki musi występować co najmniej
jeden czynnik pierwszego stopnia).

W takim razie wielomian stopnia trzeciego zawsze ma jakiś pierwiastek, ale
nie może mieć ich więcej niż trzy. Natomiast wielomian czwartego stopnia
może nie mieć pierwiastków, ale jeśli ma pierwiastki, to nie więcej niż
cztery.

E

Zapisz wielomian jak najniższego stopnia, który ma sześć pierwiastków.

Rozważmy następujące wielomiany:

W (x) = (x − 7)(x − 5)

2

P (x) = (x − 7)

2

(x − 5)

3

Pierwiastkami każdego z tych wielomianów są liczby 7 i 5.

W rozkładzie wielomianu W (x) na czynniki dwumian x − 7 występuje raz,
a dwumian x−5 występuje dwa razy, gdyż W (x) = (x−7)(x−5)(x−5). Mówimy,
że liczba 7 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), a liczba 5
— jego dwukrotnym pierwiastkiem.

RÓWNANIA WIELOMIANOWE

89

MLR2x str. 90

Zauważ, że w rozkładzie wielomianu P (x) na czynniki dwumian x − 7
występuje dwa razy, a dwumian x − 5 występuje trzy razy, gdyż P (x) =
= (x − 7)(x − 7)(x − 5)(x − 5)(x − 5). Mówimy, że liczba 7 jest dwukrotnym
pierwiastkiem wielomianu P (x), a liczba 5 jest pierwiastkiem trzykrotnym
tego wielomianu.

Niech W (x) będzie wielomianem niezerowym. Liczbę a nazywamy k-krot-
nym pierwiastkiem wielomianu W (x), gdy ten wielomian możemy przed-
stawić w postaci:

W (x) = (x − a)

k

· P(x),

gdzie P (x) jest pewnym wielomianem i liczba a nie jest jego pierwiastkiem
(czyli P (a)

= 0).

F

Liczba −1 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), a liczba 7 jest
jego pierwiastkiem pięciokrotnym. Co można powiedzieć o stopniu wielomia-
nu W (x)?

Na początku tego rozdziału przypomnieliśmy wzory pozwalające obliczać
pierwiastki wielomianu postaci ax

2

+ bx + c, gdzie a

= 0. Ze wzorów tych

wynika, że taki wielomian może mieć dwa pierwiastki (i każdy z tych pier-
wiastków jest jednokrotny) lub może mieć jeden pierwiastek (i pierwiastek
ten jest dwukrotny), lub może wcale nie mieć pierwiastków. Możemy bo-
wiem korzystać z następującej własności wielomianu drugiego stopnia.

Wielomian W (x) = ax

2

+ bx + c , gdzie a

= 0 , ma:

dwa pierwiastki x

1

i x

2

wtedy i tylko wtedy, gdy W (x) = a(x − x

1

)(x − x

2

)

i x

1

= x

2

,

jeden pierwiastek x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy W (x) = a(x − x

0

)

2

.

Wyrażenie a(x − x

1

)(x − x

2

), a także wyrażenie a(x − x

0

)

2

nazywamy postacią

iloczynową wielomianu drugiego stopnia.

G

Znajdź pierwiastki wielomianu i określ ich krotności.

1.

x

3

(x − 3)(x + 1)

4

2.

(x + 2)

2

(x + 5)

3

(x + 2)

3.

(x − 1)(x

2

− 6x + 5)

4.

(x − 3)(x

2

− 6x + 9)

ZADANIA

1.

Znajdź liczby spełniające równanie:

a) (x − 3)(2x + 5)(4 − 3x)

2

= 0

d) x

3

(x

3

− 1)(1 + x

3

) = 0

b) (x + 5)(x

2

+ x − 20)(x

2

− 5) = 0

e) (x

3

+ 2x)(x

3

+ 2)(x

3

+ x) = 0

c) (2x

2

+ 9x + 9)(9x

2

+ 1) = 0

f) (4x

2

− 8x + 6)(4x

2

− 8x)(−8x + 6) = 0

90

WIELOMIANY

MLR2x str. 91

2.

Rozwiąż równanie:

a) −5x

4

+ 3x

3

+ 14x

2

= 0

g) 4x

3

− 14x

2

+ 6x − 21 = 0

b) 4x

4

− 5x

2

+ 1 = 0

h) 15x

5

− 10x

4

− 6x + 4 = 0

c) 2x

5

+ 5x

3

− 12x = 0

i) 2x

5

− 8x

3

+ 16x

2

− 64 = 0

d) 2x

7

− x

4

− x = 0

j) 3x

5

− 12x

3

− 12x

2

+ 48 = 0

e) 6x

3

+ 6x

2

− 3x − 3 = 0

k) 5x

5

+ x

3

− 6 = 30x

2

f) 2x

5

− 18x

3

+ 2x

2

− 18 = 0

l) 5 = 3x + 5x

4

− 3x

5

3.

Znajdź pierwiastki wielomianu W (x).

a) W (x) = x

4

− 4x

3

+ 8x

2

− 24x + 12

d) W (x) = x

3

− 5x − 4

b) W (x) = x

4

− 3x

3

+ 5x

2

− 3x + 4

e) W (x) = x

3

− 6x + 4

c) W (x) = x

4

+ 3x

3

− x

2

− 6x − 2

f) W (x) = 4x

3

− 3x + 1

Wskazówka. Przedstaw jeden z wyrazów wielomianu jako sumę dwóch jednomianów.

4.

Rozwiąż równanie (postaraj się znaleźć rozwiązania w jak najprostszy sposób):

a) (2x − 1)

2

= 100

e) x

2

(x − 5) = x

2

b) (5 − x)

3

= −8

f) x(3 − 2x) = (3 − 2x)

2

c) (5 − 2x)

2

= (3 + x)

2

g) (x − 4)

2

(2x − 7) = (x − 4)

3

(2x − 7)

d) (x

2

− 9)

3

= (2x

2

− 10)

3

h) x(x − 2)

2

(x + 9) = x(x − 2)(x + 9)

5.

Niech n będzie pewną liczbą naturalną większą od 0. Ile rozwiązań ma podane

równanie? Dla jakich wartości n wszystkie pierwiastki tego równania są liczbami
całkowitymi?

a) x

n+1

− 125x = x

n

− 125x

2

b) x

n+2

+ x

4

= 100x

n

+ 100x

2

6.

a) Znajdź liczbę, o której wiadomo, że suma tej liczby i sześcianu liczby o 1 od

niej mniejszej wynosi 11.

b) Znajdź liczbę, której sześcian jest równy sumie tej liczby i jej kwadratu.

c) Znajdź liczbę, której kwadrat jest o 2 mniejszy od jej czwartej potęgi.

7.

Uzasadnij następującą własność:

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy suma współczynni-
ków tego wielomianu jest równa 0.

8.

Uzasadnij, że jeśli wielomian W (x) = ax

7

+ bx

5

+ cx

3

+ dx + e spełnia warunek

W (−1) = −W (1), to 0 jest pierwiastkiem tego wielomianu.

RÓWNANIA WIELOMIANOWE

91

MLR2x str. 92

9.

Które z podanych równań nie mają rozwiązań? Odpowiedz na to pytanie, nie

rozwiązując równań.

a) x

4

+ 1 = 0

d) 3x

2

+ 4x

8

+ 2 = 0

g) (x

4

+ 2)

3

= −8

b) x

2

− 2 = 0

e) (3x − 4)

6

+ 5 = 0

h) (x

2

− 7)

5

+ 1 = 0

c) 3x

2

+ x

4

= 0

f) 2(x

2

− 7) = −4

i) (x − 1)

2

= (x − 1)

4

10.

Podaj przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego jednym

z pierwiastków jest:

a)

√

5

b) 1 +

√

7

c)

√

5 +

√

7

11.

Znajdź pierwiastki podanego wielomianu i ustal ich krotności.

a) x

7

(x − 1)

3

(x + 2)(x + 5)

5

e) (x − 1)(x

5

− 5x

4

+ 4x

3

)

b) x(x + 3)

2

(2x − 1)

3

(x + 3)

f) (3x

4

− x

3

+ 3x − 1)(x + 1)

3

c) (x + 2)

4

(3x + 4)

2

(x + 2)

3

g) (x

2

− 1)

2

(x

6

− 2x

5

+ x

4

)

d) (x

2

− 9)(x

2

+ 2x − 15)

2

(x

2

− 2x + 3)

h) (x

3

− x

2

)(x

6

+ x

4

− x

2

− 1)

12.

Podaj przykład wielomianu, który spełnia podany warunek.

a) Liczba 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym, a liczba −10 jest pierwiastkiem cztero-
krotnym wielomianu.

b) Liczby

1
2

i

2
3

są pierwiastkami dwukrotnymi i wszystkie współczynniki wielomia-

nu są liczbami całkowitymi.

c) Liczba −5 jest pierwiastkiem pięciokrotnym i stopień wielomianu jest równy 7.
d) Stopień wielomianu jest równy 10, jedynymi pierwiastkami są liczby 0, −2, −

√

2,

przy czym 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym, −2 jest pierwiastkiem trzykrotnym,
a −

√

2 jest pierwiastkiem jednokrotnym.

13.

Znajdź liczby p i q, dla których równanie ma jeden pierwiastek trzykrotny.

a) 8x

3

− 36x

2

+ px + q = 0

c) 125x

3

+ px

2

+ qx + 8 = 0

b) px

3

+ qx

2

+ x − 1 = 0

d)

1
8

x

3

+ px

2

+

3
2

x + q = 0

Wskazówka. Wielomian trzeciego stopnia, który ma pierwiastek trzykrotny, można przed-
stawić w postaci (ax + b)

3

.

14.

Ustal krotności pierwiastków równania (2x

2

+ px + 1)

2

= 0 w zależności od

wartości p.

15.

Liczba a jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) i m-krotnym pierwiast-

kiem wielomianu V (x) (k > m). Uzasadnij, że liczba a jest także pierwiastkiem
wielomianu Z(x), i ustal, jaką ma krotność, jeśli:

a) Z(x) = W (x)

· V(x)

b) Z(x) = W (x)

2

(V (x) + 3)

c) Z(x) = W (x) + V (x)

92

WIELOMIANY

MLR2x str. 93

TEST

T1.

Wielomian (4x

2

+ 5)(4x

2

− x − 7)(x + 6)

2

ma:

A. sześć pierwiastków

B. cztery pierwiastki

C. trzy pierwiastki

D. jeden pierwiastek

T2.

Suma rozwiązań równania 6x

3

− 2x

2

− 24x + 8 = 0 jest równa:

A. −2

B.

1
3

C. 2

1
3

D. 4

T3.

Liczba 1 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu:

A. x(x − 1)(x

2

− 1)

B. (x + 1)

3

(x

2

+ 1)

3

C. x

3

(3x − 1)(x − 3)

D. (2x − 2)(x

2

− 2x + 1)

W

IEL

O

MIANÓW

DZIELENIE WIELOMIANÓW

Wiadomo, że jeśli dana liczba naturalna a jest iloczynem pewnych dwóch
liczb, to w wyniku dzielenia liczby a przez jedną z tych liczb otrzymamy
drugą z nich.

Na przykład równość:

4503 = 57

· 79

możemy zapisać w postaci:

4503 : 57 = 79

Oznacza to, że liczba 4503 jest podzielna przez 57. W analogiczny sposób
będziemy rozumieć dzielenie wielomianów.

Wiesz już, że wielomiany można rozkładać na czynniki. Na przykład wie-
lomian W (x) = 2x

3

− 4x

2

+ 3x − 6 można zapisać w postaci iloczynu:

2x

3

− 4x

2

+ 3x − 6 = (x − 2)(2x

2

+ 3)

Powyższą równość będziemy także zapisywać inaczej:

(2x

3

− 4x

2

+ 3x − 6) : (x − 2) = 2x

2

+ 3

Mówimy wówczas, że wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x − 2.
Wynikiem dzielenia wielomianu W (x) przez x − 2 jest wielomian 2x

2

+ 3.

Uwaga. Wielomian W (x) jest także podzielny przez dwumian 2x

2

+ 3.

DZIELENIE WIELOMIANÓW

93

MLR2x str. 94

A

Jaki wielomian należy wstawić w miejsce kropek?

1.

3x

5

+ x

3

= x

2

(

.......

)

(3x

5

+ x

3

) : x

2

=

.......

2.

6x

7

− 8x

4

= 2x

3

(

.......

)

(6x

7

− 8x

4

) : 2x

3

=

.......

3.

x

2

+ 2x + 1 = (x + 1)(

.......

)

(x

2

+ 2x + 1) : (x + 1) =

.......

4.

2x

4

− x

3

+ 2x

2

− x = (2x − 1)(

.......

)

(2x

4

− x

3

+ 2x

2

− x) : (2x − 1) =

.......

Mówimy, że wielomian W (x) jest podzielny przez niezerowy wielomian
P (x), jeśli istnieje taki wielomian Q(x), że:

W (x) = P (x)

· Q(x)

Piszemy wówczas: W (x ) : P (x ) = Q(x ).

Zauważ, że po rozłożeniu danego wielomianu na czynniki łatwo można
wskazać wielomiany, przez które jest on podzielny, i podać wyniki takiego
dzielenia.

B

Rozłóż wielomian x

5

− 4x

3

+ x

2

− 4 na czynniki, wypisz kilka wielomianów, przez

które ten wielomian jest podzielny, a następnie określ wynik dzielenia:

1.

(x

5

− 4x

3

+ x

2

− 4) : (x − 2)

2.

(x

5

− 4x

3

+ x

2

− 4) : (x

3

+ 1)

3.

(x

5

− 4x

3

+ x

2

− 4) : [(x + 2)(x

3

+ 1)]

4.

(x

5

− 4x

3

+ x

2

− 4) : (x

2

− 4)

Istnieje metoda, która pozwala znaleźć wynik dzielenia dwóch wielomia-
nów bez konieczności rozkładania pierwszego z nich na czynniki. Metoda
ta przypomina pisemne dzielenie liczb naturalnych. Aby się nią posługi-
wać, potrzebna jest sprawność w obliczaniu ilorazu jednomianów.

C

Znajdź wynik dzielenia jednomianów (zapisz go w jak najprostszej postaci).

1.

12x

7

: 4x

2

2.

(−8x

5

) : 2x

3

3.

1
2

x

4

: 2x

3

4.

(−4x

5

) : 6x

2

5.

1,5x

10

: (−3x

8

)

6.

1
6

x

11

:



−

1
3

x

7



94

WIELOMIANY

MLR2x str. 95

Pokażemy teraz, w jaki sposób znaleźć wynik dzielenia W (x) : P (x), gdzie
W (x) = 6x

2

+ x − 2 i P (x) = 2x + 1. Oto kolejne etapy dzielenia:

D

Upewnij się, że otrzymany wynik jest poprawny — pomnóż wielomian 3x − 2
przez wielomian 2x + 1.

Zauważ, że przy wykonywaniu dzielenia przedstawioną wyżej metodą obli-
czaliśmy różnice pewnych wielomianów (na przykład obliczaliśmy różnicę
(6x

2

− x − 2) − (6x

2

+ 3x)). Gdy wykonujemy takie działania, łatwo o pomyłkę,

dlatego warto nieco zmienić sposób zapisu dzielenia:

DZIELENIE WIELOMIANÓW

95

MLR2x str. 96

P

Wykonaj dzielenie wielomianów.

E

Wykonaj dzielenie (6x

3

+ 13x

2

− 26x + 7) : (2x

2

+ 5x − 7), a następnie sprawdź

otrzymany wynik, mnożąc odpowiednie wielomiany.

Podobnie jak przy dzieleniu liczb naturalnych, dzieląc wielomian przez
inny wielomian, możemy otrzymać resztę różną od 0.

Liczby

32

552 : 17

− 51

42

− 34

8

←−

reszta

Wykonując dzielenie

552 : 17,

otrzymujemy 32 i resztę 8,

zatem:

552 = 32

· 17 + 8

Reszta jest mniejsza od liczby,

przez którą dzielimy.

Wielomiany

2x − 7

(2x

3

−7x

2

−2x−6) : (x

2

+ 3)

−2x

3

−6x

−7x

2

− 8x − 6

7x

2

+ 21

−8x + 15

←−

reszta

Wykonując dzielenie

(2x

3

− 7x

2

− 2x − 6) : (x

2

+ 3),

otrzymujemy

2x − 7

i resztę

−8x + 15,

zatem:

2x

3

−7x

2

−2x−6 = (2x−7)(x

2

+3) +(−8x+15)

Stopień reszty jest mniejszy od stopnia wielomianu,

przez który dzielimy.

P

Wykonaj dzielenie wielomianów.

(2x

7

− 10x

5

− 6x

4

+ 2) = (2x

3

− 6)(x

4

− 5x

2

) + (−30x

2

+ 2)

Jeśli dane są wielomiany W (x) i P (x), to obliczając iloraz W (x) : P (x), otrzy-
mamy pewien wielomian Q(x) oraz pewną resztę R(x), która jest równa 0
lub jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnia P (x).

96

WIELOMIANY

MLR2x str. 97

Wielomian W (x) można zatem zapisać w postaci:

W (x) = P (x)

· Q(x) + R(x)

Uwaga. Wielomian W (x) jest podzielny przez wielomian P (x) tylko wtedy, gdy
reszta z dzielenia W (x) : P (x) jest równa 0 (wówczas W (x) = P (x)

· Q(x)).

F

Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W (x) = 2x

3

− 7x

2

+ x przez wielomian

P (x) = x

2

− 1, a następnie sprawdź wynik, wykonując odpowiednie działania.

Zauważ, że jeśli dzielimy wielomian przez dwumian pierwszego stopnia, to
reszta jest zawsze liczbą, gdyż albo jest zerem, albo wielomianem stopnia
mniejszego niż 1 (czyli wielomianem stopnia 0).

ZADANIA

1.

Podaj przykłady trzech wielomianów różnych stopni, przez które podzielny jest

zarówno wielomian W (x), jak i wielomian V (x).

a) W (x) = −(3x + 2)

4

(2x + 5)

3

, V (x) = (2x + 5)

3

(x + 2)

b) W (x) =

1
3

(2x − 1)

5

(4x − 1)(x

2

+ 2), V (x) = (x

2

+ 2)

5

(2x − 1)

2

(x − 4)

2.

Wykonaj dzielenie:

a) (x

3

− 8x

2

+ 17x − 10) : (x − 5)

b) (3x

3

+ 8x

2

− 18x − 8) : (x + 4)

c) (9x

3

− 18x

2

− 4x + 1) : (3x + 1)

d) (x

4

− 2x

3

+ x

2

+ x − 1) : (1 − x)

e) (−4x

4

+ 12x

3

− 5x

2

+ 17x − 6) : (x − 3)

f) (12x

4

+ 14x

3

− 8x

2

− 16x + 5) : (6x − 5)

g) (−6x

6

− 7x

5

− 2x

4

+ 9x + 6) : (3x + 2)

h) (30x

8

− 6x

7

+ 10x

6

− 2x

5

− 5x + 1) : (5x − 1)

3.

Wykonaj dzielenie:

a) (10x

5

− 2x

4

+ 15x

3

+ 5x

2

+ 12) : (2x

2

+ 3)

b) (−2x

5

+ 6x

4

− 12x

2

+ 8x) : (x

2

− 3x + 2)

c) (15x

8

+ 7x

6

+ 3x

4

+ 12x

2

− 10) : (5x

4

− x

2

+ 5)

4.

Znajdź taki wielomian W (x), aby spełniona była równość:

a) (2x

2

− 7)

· W (x) = 2x

4

+ 4x

3

− x

2

− 14x − 21

b) (x

2

− 3)(x + 1)

· W (x) = 5x

5

+ 2x

4

− 18x

3

− 6x

2

+ 9x

c) −9x

3

+ 10x

2

+ 5 + W (x)

· (2x

2

+ 3x − 5) = 3x(2x

3

− x + 1)

DZIELENIE WIELOMIANÓW

97

MLR2x str. 98

1 3x

4

+ 2x − 3

2 2x

4

− 3x + 2

3 2x

3

+ 2x + 3

4 3x

2

− 2x − 3

5 3x

3

+ 3x − 2

5.

Obok zapisano pięć różnych wielomianów. Nie

wykonując dzielenia, wskaż, który wielomian jest
wynikiem dzielenia:

a) (3x

6

+ 9x

4

+ 2x

3

− 3x

2

+ 6x − 9) : (x

2

+ 3)

b) (3x

5

− 2x

4

− 3x

3

− 3x

2

+ 2x + 3) : (x

3

− 1)

c) (6x

6

− 2x

4

− 9x

3

+ 6x

2

+ 3x − 2) : (3x

2

− 1)

d) (6x

5

+ 15x

3

− 4x

2

+ 9x − 6) : (2x

2

+ 3)

6.

Ustal, jakie liczby należy wstawić w miejsce kratek, aby spełniona była równość:

a) (6x

4

+

x

2

+

) : ( x

2

+ 2) = 3x

2

+ 1

b) ( x

6

+ 9x

4

− 20x

3

+

x

2

+

x) : (x

3

− 2x + 5) = −4x

3

+

x

c) ( x

6

− 2x

4

+

) : (4x

2

+ 2) = 3x

4

−

x

2

+ 1

7.

Znajdź resztę z dzielenia wielomianu 6x

5

+ 2x

2

− 5x + 7 przez wielomian:

a) x

3

− 5

b) x

2

+ 1

c) x

5

− 3

8.

Wykonaj dzielenie z resztą:

a) (−21x

3

+ 22x

2

− 20x) : (3x − 1)

d) (−9x

4

− 6x

3

+ x + 6) : (−3x

2

− 2x + 1)

b) (8x

4

+ 2x

3

− 11x

2

− 8x − 14) : (2x + 3)

e) (−10x

5

+ 8x

4

− 2x

3

+ 20x

2

) : (2x

3

− 4)

c) (10x

3

− 4x

2

+ 19x − 9) : (2x

2

+ 3)

f) (15x

5

+ 18x

3

− 6x

2

− 4) : (5x

3

+ x − 2)

9.

Znajdź taki wielomian W (x), że po podzieleniu go:

a) przez 2x

3

− x

2

+ 5 otrzymamy wielomian x

2

− 5 oraz resztę 4x

2

+ 25,

b) przez 5x

2

+ 4 otrzymamy wielomian −3x

3

− 5x + 2 oraz resztę 3x − 2,

c) przez 2x

5

− 3x + 4 otrzymamy wielomian x

2

− 2x + 3 oraz resztę −10x

2

+ 17x − 12.

10.

Podaj przykład takiego wielomianu, aby reszta z jego dzielenia przez wielo-

mian x

3

+ 2 była:

a) liczbą,

b) wielomianem stopnia pierwszego,

c) wielomianem stopnia drugiego.

11.

Dzieląc wielomian W (x) przez wielomian P (x), otrzymamy pewien wielomian

Q(x) i resztę. Nie wykonując dzielenia, określ stopień wielomianu Q(x), gdy:

a) W (x) = x

5

+ 3x

3

− 3,

P (x) = x

3

− 2x

2

c) W (x) = 3x

6

− 2x, P (x) = −

1
2

x

6

+ x

4

− 3

b) W (x) = −2x

4

− 7x + 1,

P (x) = x + 1

d) W (x) = 4x

12

− 9x

2

+ x − 5,

P (x) = x

2

98

WIELOMIANY

MLR2x str. 99

CIEKAWOSTKA

Dzieląc dowolny wielomian W (x) przez dwumian postaci x − a, możemy skorzystać
z uproszczonej metody zwanej schematem Hornera.

Sposób dzielenia tą metodą pokazano poniżej na przykładzie dzielenia wielomianu
W (x) = x

4

− 4x

3

+ 2x

2

− 25 przez dwumian x − 4.

W wyniku dzielenia wielomianu x

4

−4x

3

+2x

2

−25 przez dwumian x−4 otrzymujemy

x

3

+ 2x + 8 oraz resztę 7, czyli:

(x

4

− 4x

3

+ 2x

2

− 25) = (x − 4)(x

3

+ 2x + 8) + 7

12.

Zapisz dowolny wielomian piątego stopnia. Następnie podziel go przez dwu-

mian x + 4. Wykonaj to dzielenie dwoma sposobami — korzystając z poznanej
wcześniej metody oraz ze schematu Hornera.

Wskazówka. Dwumian x + 4 jest dwumianem postaci x − a dla a = −4.

13.

Korzystając ze schematu Hornera, wykonaj dzielenie:

a) (x

3

− 6x

2

+ 12x − 8) : (x − 2)

d) (x

5

− 9x

3

+ 2x + 5) : (x + 3)

b) (x

4

+ x

3

+ x

2

+ 4x + 3) : (x + 1)

e) (5x

5

− 7x

4

− x

3

+ 4x

2

+ 3x) : (x − 1)

c) (2x

4

− 8x

3

+ 5x − 20) : (x − 4)

f) (−3x

4

+ 2x − 3) : (x + 2)

DZIELENIE WIELOMIANÓW

99

MLR2x str. 100

TEST

T1.

Przez który z wielomianów nie jest podzielny wielomian (2x − 1)(x + 1)(x − 2)?

A. 2x + 2

B. x

2

− x − 2

C. 2x

2

+ x − 1

D. x

2

+ 2x + 1

T2.

Wynikiem dzielenia wielomianu 6x

4

−13x

3

−17x

2

+10x−12 przez dwumian x−3

jest wielomian ax

3

+ bx

2

+ cx + d. Która z wartości współczynników tego wielomianu

jest prawidłowa?

A. a = 3

B. b = 5

C. c = 2

D. d = −4

T3.

Reszta z dzielenia wielomianu 2x

4

− 2x

3

− 5x

2

+ 2x + 5 przez dwumian x

2

− 1 jest

równa:

A. 2

B. 2x + 5

C. −3x + 2

D. x − 1

D

ZENIE

B´

EZOUT

TWIERDZENIE B´

EZOUT

A

1.

Sprawdź, że pierwiastkiem każdego z poniższych wielomianów jest liczba 7.

2.

Które z podanych wielomianów są podzielne przez dwumian x − 7?

(x − 7)(x

5

− 2x

3

+ 8)

(x − 7)(x − 16)

x

3

− 7x

2

Każdy z wielomianów w ćwiczeniu A można zapisać w postaci (x − 7)

· P(x),

gdzie P (x) jest pewnym wielomianem. Można więc powiedzieć, że każdy
z tych wielomianów jest podzielny przez dwumian x−7 oraz że liczba 7 jest
pierwiastkiem każdego z tych wielomianów, gdyż (7 − 7)

· P(7) = 0 · P(7) = 0.

Ogólną własność wielomianów, która wiąże pierwiastek wielomianu z po-
dzielnością tego wielomianu przez pewien dwumian, opisuje poniższe
twierdzenie.

Twierdzenie B´

ezout

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wie-
lomian ten jest podzielny przez dwumian x − a.

Uwaga. Powyższe twierdzenie można zapisać w następujący sposób:

W (a) = 0

⇐⇒

W (x) : (x − a) = P (x) , gdzie P (x) jest pewnym wielomianem

Zauważ, że twierdzenie składa się z dwóch części:

1. Jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x), to wielomian ten jest
podzielny przez dwumian x − a.

2. Jeśli wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x − a, to liczba a jest
pierwiastkiem tego wielomianu.

100

WIELOMIANY

MLR2x str. 101

Dowód

Zauważmy najpierw, że wielomian W (x) można zapisać w postaci:

W (x) = (x − a)

· P(x) + R

P(x) jest pewnym wielomianem, a R — pewną
resztą; w tym wypadku reszta R jest liczbą,
gdyż albo jest równa 0, albo jest wielomia-
nem, którego stopień jest niższy od stopnia
wielomianu, przez który dzielimy.

Wobec tego:

W (a) = (a − a)

· P(a) + R = 0 · P(a) + R = R

Otrzymaliśmy zatem równość: W (a) = R.

Korzystając z tej równości, udowodnimy obie części twierdzenia.

1. Załóżmy, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x), czyli, że W (a) = 0.

Ponieważ W (a) = R, zatem R = 0. Wynika stąd, że wielomian W (x) jest podziel-
ny przez dwumian x − a.

2. Załóżmy teraz, że wielomian W (x) dzieli się przez dwumian x − a, czyli że
R = 0.

Ponieważ W (a) = R, zatem W (a) = 0. Wynika stąd, że liczba a jest pierwiast-
kiem wielomianu W (x).

Analizując dowód twierdzenia B´

ezout, można zauważyć, że przy okazji

uzasadniona została pewna ważna własność wielomianów:

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x − a jest równa W (a).

B

1.

Dany jest wielomian W (x) = x

4

+ x

3

− 7x

2

− x + 6. Korzystając z twierdzenia

B´

ezout, ustal, przez który z podanych dwumianów dzieli się wielomian W (x).

x − 1

x + 1

x − 2

x + 2

2.

Ustal reszty z dzielenia podanych wielomianów przez dwumian x − 2.

A(x) = x

3

− x

2

+ 3x − 5

B(x) =

1
4

x

5

− x

2

− 7x + 1

C(x) = x

4

− 6x

3

+ 5x

2

+ 12

CIEKAWOSTKA

´

Etienne B´

ezout (1730 –1783) był francuskim matematykiem. Zajmował się

algebrą, ale znany jest głównie jako autor doskonałych podręczników. Je-
go książki napisane są niezwykle przystępnie, językiem precyzyjnym, ale
nie całkiem naukowym. Sześciotomowe dzieło B´

ezout „Kurs matematyki”,

przetłumaczone na angielski, było przez wiele lat podstawowym podręcz-
nikiem na Uniwersytecie Harvarda. Twierdzenie o podzielności wielomianu
przez dwumian nie zostało ani sformułowane, ani udowodnione przez
B´

ezout — było znane już wcześniej. Właściwie nie wiadomo, dlaczego

w Polsce jest nazywane twierdzeniem B´

ezout. W większości krajów, nawet

we Francji, nie używa się takiej nazwy.

TWIERDZENIE B´EZOUT

101

MLR2x str. 102

Z twierdzenia B´

ezout można korzystać przy rozwiązywaniu niektórych

równań.

Przypuśćmy, że mamy rozwiązać równanie wielomianowe W (x) = 0 i wiemy,
że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x).

Z twierdzenia B´

ezout wynika, że wielomian W (x) jest podzielny przez

x − a. Wobec tego po wykonaniu dzielenia W (x) : (x − a) otrzymamy pe-
wien wielomian Q(x), który jest wielomianem niższego stopnia niż W (x).

W (x) = (x − a)

· Q(x)

Równanie W (x) = 0 możemy więc zapisać w postaci:

(x − a)

· Q(x) = 0

Pozostałe pierwiastki znajdziemy, rozwiązując równanie niższego stopnia:
Q(x) = 0.

P

Sprawdź, że liczba 1 jest rozwiązaniem równania x

3

− 3x

2

+ 2 = 0. Znajdź pozo-

stałe rozwiązania tego równania.

1

3

− 3

· 1

2

+ 2 = 1 − 3 + 2 = 0

Sprawdzamy, że liczba 1 spełnia równanie
x

3

− 3x

2

+ 2 = 0.

x

2

− 2x − 2

(x

3

− 3x

2

+ 2) : (x − 1)

Dzielimy wielomian x

3

− 3x

2

+ 2 przez dwu-

mian x − 1, aby rozłożyć go na czynniki.

−x

3

+ x

2

−2x

2

+ 2

2x

2

− 2x

−2x + 2

2x − 2

0

x

3

− 3x

2

+ 2 = (x − 1)(x

2

− 2x − 2)

(x − 1)(x

2

− 2x − 2) = 0

Zapisujemy równanie w innej postaci.

x = 1

lub

x

2

− 2x − 2 = 0

Rozwiązujemy równanie niższego (drugiego)
stopnia.

Δ = 4 − 4

· (−2) = 12

√

Δ =

√

12 = 2

√

3

x

1

=

2 − 2

√

3

2

= 1 −

√

3

x

2

=

2 + 2

√

3

2

= 1 +

√

3

Odp. Równanie ma trzy rozwiązania: x

1

= 1 −

√

3, x

2

= 1 +

√

3, x

3

= 1.

102

WIELOMIANY

MLR2x str. 103

Liczba a jest k-krotnym pierwiastkiem
wielomianu W (x), gdy W (x) można
przedstawić w postaci:

W (x) = (x − a)

k

· P(x),

gdzie P (x) jest wielomianem i P (a)

= 0.

Zauważ, że jeśli liczba a jest
k-krotnym pierwiastkiem wie-
lomianu W (x), to wielomian
ten jest podzielny przez wie-
lomian (x − a)

k

, a nie jest po-

dzielny przez (x − a)

k+1

.

Jeśli W (x) = (x − a)

k

·P(x) i P(a) = 0, to z twierdzenia B´ezout wynika, że

wielomian W (x) nie jest podzielny przez (x − a)

k+1

. Gdyby bowiem wielo-

mian W (x) był podzielny przez (x − a)

k+1

, to wielomian P (x) musiałby być

podzielny przez x − a. Z twierdzenia B´

ezout wynika, że zachodziłaby rów-

ność P (a) = 0, a zakładaliśmy, że P (a)

= 0.

ZADANIA

1.

Nie wykonując dzielenia, sprawdź, czy wielomian W (x) jest podzielny przez dwu-

mian V (x), jeśli:

a) W (x) = 5x

14

− 6x + 1, V (x) = x − 1

d) W (x) =

1
9

x

4

−x

2

+

1
2

x−

1
2

, V (x) = x−3

b) W (x) = 3x

7

− x

3

+ x

2

+ 1, V (x) = x + 1

e) W (x) = x

4

−

1
2

x

3

−4x

2

+1, V (x) = x−

1
2

c) W (x) = x

3

+ 3x

2

+ x − 10, V (x) = x + 2

f) W (x) = x

8

−3x

4

+x

3

−27, V (x) = x+

√

3

2.

a) Dla jakiej wartości a wielomian 5x

5

− ax

3

+ 3x

2

− 6x jest podzielny przez

dwumian x − 2?

b) Dla jakiej wartości p wielomian px

5

− px

3

−

1
2

x + 2 jest podzielny przez dwumian

x + 2?

3.

a) Wykaż, że dla dowolnej liczby a wielomian x

n

− a

n

jest podzielny przez dwu-

mian x − a. Wykaż też, że gdy n jest liczbą parzystą, to wielomian x

n

− a

n

jest też

podzielny przez dwumian x + a.

b) Każdy z poniższych wielomianów przedstaw w postaci iloczynu dwóch wielo-
mianów, z których jeden jest dwumianem pierwszego stopnia.

x

5

− 1

x

6

− 64

x

6

− 27

4.

Nie wykonując dzielenia, znajdź resztę z dzielenia:

a) (3x

7

− 5x

6

+ 4x

5

− 7) : (x − 1)

d) (10x

5

− 13) : (x − 2)

b) (8x

10

− 4x

8

+ 7x

7

+ 2) : (x + 1)

e) (5x

4

− 6x

3

) : (x + 10)

c) (81x

4

− 9x

2

+ x − 1) : (x − 3)

f)



−

1

81

x

7

+

2
9

x

3

+

1
3



: (x + 3)

TWIERDZENIE B´EZOUT

103

MLR2x str. 104

5.

a) Dla jakiej wartości a reszta z dzielenia wielomianu 6x

3

− 4ax

2

+ x − 3 przez

dwumian x −

1
2

jest równa 1?

b) Dla jakiej wartości p reszta z dzielenia wielomianu x

4

− x

3

+ px

2

+ 2x + p przez

dwumian x + 1 jest równa 9?

Liczby a i b (gdzie a

= b) są

pierwiastkami wielomianu W (x)

wtedy i tylko wtedy, gdy wielo-

mian W (x) jest podzielny przez

(x − a)(x − b).

6.

a) Dla jakich wartości m i n wie-

lomian 5x

4

+ 4x

3

+ mx

2

+ nx + 1 jest

podzielny przez dwumian x

2

− 1?

b) Wielomian x

4

− 2tx

3

+ 3tx

2

+ x + s

jest podzielny przez trójmian x

2

− x − 2.

Znajdź liczby t i s.

c) Korzystając z twierdzenia B´

ezout,

udowodnij twierdzenie podane obok.

7.

Uzasadnij, że wielomian x

5

− 3x

3

+

√

2x

2

+ 2x − 2

√

2 jest podzielny przez x

2

− 2.

8.

a) Reszta z dzielenia wielomianu 2x

3

+ x

2

− x + 7 przez dwumian x − a wynosi 7.

Oblicz wartość a.

b) Reszty z dzielenia wielomianów 2x

3

+ 5x

2

− 5x − 7 i 2x

3

+ 4x

2

− 2x + 3 przez

dwumian x − a są takie same. Znajdź liczbę a.

9.

Sprawdź, że podana liczba jest pierwiastkiem równania, a następnie znajdź jego

pozostałe pierwiastki.

a) 2x

3

− x

2

− 8x + 4 = 0,

2

d) 4x

3

− 4x

2

− 15x + 18 = 0,

−2

b) 6x

3

− 29x

2

− 6x + 5 = 0,

5

e) x

4

− x

3

− 14x

2

+ 2x + 24 = 0,

−3

c) x

3

+ 7x

2

− 5x − 75 = 0,

3

f) x

4

+ 8x

3

+ 19x

2

+ 32x + 60 = 0,

−5

10.

Sprawdź, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x), i rozłóż ten wielo-

mian na czynniki stopnia pierwszego.

a) W (x) = 3x

3

− 35x

2

+ 48x + 20,

a = 10

b) W (x) = 10x

3

+ 63x

2

− 48x + 7,

a = −7

c) W (x) = x

4

+ 7x

3

+ 2x

2

− 28x − 24,

a = −6

d) W (x) = 2x

4

− 3x

3

− 24x

2

+ 6x + 40,

a = 4

11.

Liczby 3 i −2 są pierwiastkami wielomianu x

5

− 15x

3

− 10x

2

+ 60x + 72. Określ

krotności tych pierwiastków.

104

WIELOMIANY

MLR2x str. 105

12.

Podana liczba jest dwukrotnym pierwiastkiem danego wielomianu. Znajdź po-

zostałe pierwiastki tego wielomianu.

a) x

4

+ 3x

3

− 23x

2

+ 33x − 14,

1

c) x

4

+ 20x

3

+ 96x

2

− 80x − 400,

−10

b) x

4

− x

3

− 10x

2

+ 4x + 24,

−2

d) x

4

− 2x

3

− 11x

2

+ 12x + 36,

3

13.

a) Liczby 2 i −3 są pierwiastkami wielomianu ax

3

+ bx

2

− 11x + 30 . Znajdź trzeci

pierwiastek tego wielomianu.

b) Liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu x

3

+ mx

2

− 7x + n . Znajdź

trzeci pierwiastek tego wielomianu.

14.

a) Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez x+2 wynosi 7, a reszta z dzielenia

tego wielomianu przez x − 1 wynosi 1. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W (x)
przez wielomian (x + 2)(x − 1).

b) Reszta z dzielenia wielomianu V (x) przez x − 3 wynosi −45, a reszta z dzielenia
tego wielomianu przez x + 1 wynosi −1. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W (x)
przez wielomian x

2

− 2x − 3.

Wskazówka. Szukana reszta ma postać ax + b.

TEST

T1.

Tylko jeden z poniższych wielomianów nie jest podzielny przez dwumian x − 1.

Wskaż ten wielomian.

A. 16x

7

− 5x − 11

B. x

8

− 5x

6

− x

5

+ 3x

2

+ 2x

C. x

11

− 1

D. 2x

5

− 2x

3

− 1

T2.

Wielomian x

6

− x

3

− 6 jest podzielny przez:

A. x −

√

2

B. x +

√

2

C. x −

3

√

2

D. x +

3

√

2

T3.

Dla jakiej wartości m wielomian x

3

+mx

2

+mx+3 jest podzielny przez dwumian

x + 3?

A. m = −3

B. m = 4

C. m = 5

D. m = 10

T4.

Dzielenie wielomianu x

3

− x

2

− x + 1 przez który z poniższych dwumianów daje

największą resztę?

A. x − 2

B. x − 1

C. x + 1

D. x + 2

TWIERDZENIE B´EZOUT

105

MLR2x str. 106

AW

IE

LO

MIANOWE

(CD.)

RÓWNANIA WIELOMIANOWE (CD.)

Aby skorzystać z twierdzenia B´

ezout przy rozwiązywaniu równania wie-

lomianowego, trzeba znać przynajmniej jedną liczbę spełniającą to rów-
nanie. Nawet gdy taka liczba istnieje, na ogół trudno ją znaleźć. Czasem
jednak poszukiwanie pierwiastków wielomianu można usystematyzować.
W tym rozdziale omówimy jedną z metod pozwalających znajdować pier-
wiastki niektórych wielomianów.

A

Przyjrzyj się poniższym równaniom i nie rozwiązując ich, odpowiedz, o którym
z nich możemy powiedzieć, że na pewno nie ma rozwiązań, które są liczbami
całkowitymi.

1 x

3

+ 3x +

1
2

= 0

2 x

3

− x

2

+ x − 1 = 0

3 x

3

+ x

2

+ x −

√

2 = 0

Będziemy się teraz zajmować równaniami wielomianowymi, w których
wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi. Spróbujemy odkryć, ja-
kie warunki musiałyby być spełnione, aby jednym z rozwiązań tego typu
równania mogła być liczba całkowita.

Przypuśćmy na przykład, że szukamy rozwiązań równania:

x

3

− 2x

2

− 5x + 6 = 0

To równanie możemy zapisać w postaci:

x(x

2

− 2x − 5) = −6

Wiadomo, że jeśli x jest liczbą całkowitą, to także x

2

− 2x − 5 jest liczbą

całkowitą.

Z powyższej równości wynika, że liczba −6 jest iloczynem dwóch liczb: x
oraz x

2

−2x−5. Zatem jeśli liczba x jest całkowitym rozwiązaniem równania,

to musi być dzielnikiem liczby −6. Jest więc także dzielnikiem liczby 6.

Liczba 6 ma osiem całkowitych dzielników: 1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6. Aby
się dowiedzieć, które liczby całkowite są rozwiązaniami rozważanego rów-
nania, wystarczy sprawdzić, która z tych ośmiu liczb spełnia to równanie.

Dla x = 1 otrzymamy: 1

3

−2

·1

2

−5

·1+6 = 0. Zatem liczba 1 jest rozwiązaniem

danego równania.

Dla x = −1 otrzymamy: (−1)

3

− 2

· (−1)

2

− 5

· (−1) + 6 = 0. Zatem liczba −1 nie

jest rozwiązaniem tego równania.

B

Obliczając odpowiednie wartości wielomianu, znajdź pozostałe całkowite roz-
wiązania omawianego wyżej równania x

3

− 2x

2

− 5x + 6 = 0.

106

WIELOMIANY

MLR2x str. 107

Aby rozwiązać równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych,
możemy skorzystać z następującego twierdzenia:

Twierdzenie (o rozwiązaniach całkowitych)
Załóżmy, że w równaniu wielomianowym:

a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ ... + a

1

x + a

0

= 0

wszystkie współczynniki a

n

, a

n−1

, ..., a

0

są liczbami całkowitymi i a

0

= 0.

Jeśli rozwiązaniem tego równania jest liczba całkowita, to jest ona dzielni-
kiem wyrazu wolnego a

0

.

Dowód

Oznaczmy przez c liczbę całkowitą, która jest rozwiązaniem równania:

a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ ... + a

1

x + a

0

= 0,

gdzie współczynniki a

n

, a

n−1

, . . ., a

1

, a

0

są liczbami całkowitymi i a

0

= 0.

Wobec tego spełniona jest równość:

a

n

c

n

+ a

n−1

c

n−1

+ ... + a

1

c + a

0

= 0

Zapiszmy tę równość w postaci:

c

a

n

c

n−1

+ a

n−1

c

n−2

+ ... + a

1

= −a

0

Założyliśmy, że a

0

= 0, zatem c = 0. Wobec tego obie strony równości możemy

podzielić przez c.

a

n

c

n−1

+ a

n−1

c

n−2

+ ... + a

1

= −

a

0

c

Liczba a

n

c

n−1

+ a

n−1

c

n−2

+ ... + a

1

jest całkowita (bo założyliśmy, że wszystkie

współczynniki równania są liczbami całkowitymi). Wynika stąd, że liczba

a

0

c

jest liczbą całkowitą, a więc liczba a

0

musi być podzielna przez c.

Wykazaliśmy w ten sposób, że liczba c jest dzielnikiem liczby a

0

.

C

Wykaż, że podane równanie nie ma rozwiązań całkowitych.

1.

x

5

+ 2x − 11 = 0

2.

x

7

+ 7 = x

3.

4x

8

− 2 = x

10

D

Znajdź wszystkie całkowite rozwiązania równania:

1.

3x

5

− 4x

2

+ 1 = 0

2.

x

4

+ x

3

− x

2

+ x − 2 = 0

3.

2x

11

+ 8x

7

+ 10 = 0

E

Sprawdź, że rozwiązaniem równania x

2

−

1
2

x − 3 = 0 jest liczba 2, chociaż

rozwiązanie to nie jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyjaśnij, dlaczego nie
jest to sprzeczne z powyższym twierdzeniem.

Stosując powyższe twierdzenie, można rozwiązywać niektóre równania ty-
pu W (x) = 0, w których wielomian W (x) ma współczynniki całkowite. To
twierdzenie pozwala także rozwiązywać niektóre równania o współczynni-
kach niecałkowitych.

RÓWNANIA WIELOMIANOWE (CD.)

107

MLR2x str. 108

P

Rozwiąż równanie

1
4

x

3

− x

2

+ 2 = 0.

1
4

x

3

− x

2

+ 2 = 0

 · 4

x

3

− 4x

2

+ 8 = 0

Przekształcamy równanie tak, aby otrzymać
równoważne równanie o współczynnikach
całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego wielomianu W (x ) = x

3

− 4x

2

+ 8:

1, −1, 2, −2, 4, −4, 8, −8

W (1) = 1 − 4 + 8 = 0

Liczby 1 i −1 nie spełniają równania
x

3

− 4x

2

+ 8 = 0.

W (−1) = −1 − 4 + 8 = 0

W (2) = 2

3

− 4

· 2

2

+ 8 = 0

Liczba 2 spełnia to równanie.

x

2

− 2x − 4

(x

3

− 4x

2

+ 8) : (x − 2)

−x

3

+ 2x

2

−2x

2

+ 8

2x

2

− 4x

−4x + 8

4x − 8

0

Dzielimy wielomian x

3

− 4x

2

+ 8 przez dwu-

mian x − 2.

x

3

− 4x

2

+ 8 = (x − 2)(x

2

− 2x − 4)

(x − 2)

· (x

2

− 2x − 4) = 0

Zapisujemy równanie w innej postaci i je
rozwiązujemy.

x = 2 lub x

2

− 2x − 4 = 0

Δ = 4 − 4

· (−4) = 20

√

Δ = 2

√

5

x

1

=

2 − 2

√

5

2

= 1 −

√

5

x

2

=

2 + 2

√

5

2

= 1 +

√

5

Odp. Równanie ma trzy rozwiązania: x

1

= 1 −

√

5, x

2

= 1 +

√

5 i x

3

= 2.

Uwaga. Jeżeli korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych, nie znaj-
dziemy żadnego rozwiązania równania wielomianowego, to oczywiście nie ozna-
cza jeszcze, że równanie nie ma rozwiązań. Na przykład łatwo stwierdzić, że
równanie x

4

− 2x

2

− 3 = 0 nie ma rozwiązań całkowitych, ale ma dwa rozwiązania

(x =

√

3 i x = −

√

3).

108

WIELOMIANY

MLR2x str. 109

CIEKAWOSTKA

W Boże Narodzenie 1534 roku rozpoczął się matematyczny pojedynek.
Jego uczestnikami byli dwaj Włosi — Mario Fior i Niccol`

o Fontana, zwany

Tartaglia (jąkała). Takie naukowe zawody były wówczas bardzo popularne,
gdyż dzięki nim rosła sława (i dochody) zwycięzcy.

Fior wygrywał już wcześniej wiele turniejów, bo znał kilka równań trzecie-
go stopnia, które tylko on, jak mu się zdawało, umiał rozwiązać.

Zawody polegały na tym, że w ciągu 50 dni obaj uczestnicy mieli rozwiązać
kilkadziesiąt zadań przygotowanych przez przeciwnika. Wszystkie zadania
Fiora dotyczyły równań trzeciego stopnia. Tydzień przed upływem terminu
Tartaglia odkrył metodę rozwiązywania tego typu równań i wygrał turniej.

Wielu uczonych pragnęło poznać tę metodę. Tartaglia jednak nikomu jej
nie zdradził. Dopiero 10 lat później wydobył ją od niego Girolamo Car-
dano i niezbyt uczciwie opublikował pod własnym nazwiskiem. Od tego
czasu wzory pozwalające rozwiązać równanie trzeciego stopnia nazywane
są wzorami Cardana.

ZADANIA

1.

Znajdź wszystkie całkowite pierwiastki wielomianu:

a) x

3

− 2x

2

− 2x − 3

c) x

3

− 3x

2

− 6x + 8

e) −x

5

− 3x

4

+ 6x

2

+ 4x

b) 3x

4

+ x

3

− x

2

− x − 2

d) 2x

3

+ 8x

2

+ 8x + 6

f) x

6

− 4x

5

− 6x

4

+ 4x

3

+ 5x

2

2.

Dla jakich wartości n równanie x

n

+ x + 2 = 0 ma rozwiązania całkowite? Znajdź

te rozwiązania.

3.

Rozwiąż równanie:

a) 5x

3

+ 10x

2

+ 6x + 1 = 0

e) 2x

3

− 6x

2

+ x − 3 = 0

b) 3x

3

+ 8x

2

− 4x − 3 = 0

f) 3x

4

+ 6x

3

− 8x

2

+ 2x − 3 = 0

c) 10x

3

+ 11x

2

− 16x + 4 = 0

g) 2x

4

− 5x

3

− 2x

2

+ 10x − 4 = 0

d) 4x

3

− 12x

2

+ 9x − 2 = 0

h) −3x

4

+ 2x

3

− 8x

2

+ 6x + 3 = 0

4.

Rozwiąż równanie:

a) 2x

3

+ 2x

2

+ 3 = 11x

d) 5x(x

2

+ 1) − (3x + 1)

2

= −2x

2

− x − 3

b) x(x + 2)

2

+ 4x = −5

e) 2(x

2

− 1)

2

+ x(2x + 3)

2

= 11x

2

+ 14x

c) 5(x + 10) = x

2

(8 − x)

f) (3x − 2)

2

+ 4x(1 − x

2

) = 6 − 5x

4

Wskazówka do e) i f). Wyłącz najpierw wspólny czynnik przed nawias.

RÓWNANIA WIELOMIANOWE (CD.)

109

MLR2x str. 110

TEST

T1.

Który z poniższych wielomianów nie ma pierwiastków całkowitych?

A. 2x

3

−x

2

−5x−2

B. 5x

4

+2x

2

−6x+1

C. x

3

+4x

2

−3

D. 2x

5

+x

4

−5x+2

T2.

Jednym z rozwiązań równania x

3

+ 4x

2

− 31x − 70 = 0 jest liczba −7. Suma

pozostałych dwóch rozwiązań wynosi:

A. 3

B. −1

C. 5

D. 7

T3.

Wielomian x

3

− 2x

2

+ 2x + 5:

A. nie ma pierwiastków

B. ma jeden pierwiastek

C. ma dwa pierwiastki

D. ma trzy pierwiastki

N

IA

WYMIERNE

ROZWIĄZANIA WYMIERNE
RÓWNAŃ WIELOMIANOWYCH

A

1.

Sprawdź, że równanie 2x

3

− x

2

+ x − 6 = 0 nie ma rozwiązań całkowitych.

2.

Wypisz wszystkie dzielniki wyrazu wolnego oraz wszystkie dzielniki współ-

czynnika przy najwyższej potędze wielomianu 2x

3

− x

2

+ x − 6. Zapisz wszystkie

ułamki

p
q

, gdzie p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem współ-

czynnika przy najwyższej potędze tego wielomianu.

3.

Wśród ułamków, które zapisałeś w punkcie 2, jest jedno z rozwiązań rów-

nania 2x

3

− x

2

+ x − 6 = 0. Znajdź to rozwiązanie.

Metodę szukania rozwiązań wymiernych, którą posłużyłeś się w powyż-
szym ćwiczeniu, można stosować dla dowolnego równania o współczynni-
kach całkowitych. Prawdziwe jest bowiem następujące twierdzenie:

Twierdzenie (o rozwiązaniach wymiernych)
Załóżmy, że w równaniu wielomianowym postaci:

a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ . . . + a

1

x + a

0

= 0

wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi oraz a

0

= 0 i a

n

= 0.

Jeśli rozwiązaniem tego równania jest liczba wymierna, to można ją
przedstawić w postaci ułamka

p
q

, gdzie licznik p jest dzielnikiem wyrazu

wolnego a

0

, a mianownik q jest dzielnikiem współczynnika a

n

przy najwyż-

szej potędze.

Dowód

Aby zapis dowodu był bardziej przejrzysty, przeprowadzimy go dla równa-
nia stopnia trzeciego. Dowód dla równania dowolnego stopnia n jest niemal
identyczny.

110

WIELOMIANY

MLR2x str. 111

Przyjmijmy, że liczby a

3

, a

2

, a

1

i a

0

występujące w poniższym równaniu są

liczbami całkowitymi oraz a

0

= 0 i a

3

= 0.

a

3

x

3

+ a

2

x

2

+ a

1

x + a

0

= 0

Załóżmy, że pewna liczba

p
q

, gdzie p i q są liczbami całkowitymi różnymi od 0,

jest rozwiązaniem równania. Możemy też założyć, że ułamek

p
q

jest nieskracal-

ny (tzn. że p i q nie mają wspólnych dzielników różnych od 1 i od −1).

Zatem spełniona jest równość:

a

3

p

3

q

3

+ a

2

p